【定義・定理・公式】高校数学基本事項 - 数学Ⅰ - 実数

実数

実数の分類

【定義】

有理数：実数のうち，整数か分数の形で表せる数

無理数：実数のうち，整数か分数の形で表せない数

循環節：循環小数において繰り返される数字の列

※循環小数は，循環節の最初と最後の数字の上に・をつけて表す。

数の範囲と四則

自然数の範囲では減法と除法が，整数の範囲では除法が，必ずしも可能ではない。

※整数同士の商が整数とは限らない

有理数や実数の範囲では四則計算が可能。

※2つの有理数の和，差，積，商は常に有理数であり，2つの実数の和，差，積，商は常に実数

※除法では，0で割ることは考えないものとする。

数直線と絶対値

実数と数直線

【定義】

数直線：直線上に基準となる点 $\mathrm{O}$ をとって数0を対応させ，その点の両側に目盛りをつけた直線

原点：数直線における点 $\mathrm{O}$

※数直線では，1つの実数に1つの点が対応している。

※数直線上で，点 $\mathrm{P}$ に実数 $a$ が対応しているとき，$a$ を点 $\mathrm{P}$ の座標といい，座標が $a$ である点 $\mathrm{P}$ を $\mathrm{P} (a)$ で表す。

※実数の大小関係は，数直線上では点の左右の位置関係で表される。

絶対値

【定義】

絶対値 $\boldsymbol{|a|}$ ：原点 $\mathrm{O} (0)$ と点 $\mathrm{P} (a)$ の距離

$|a|= \left \{ \begin{array}{cl} a & (a \geqq 0 のとき) \\ -a & (a<0 のとき) \end{array} \right.$

2点間の距離

【定義】

2点 $\mathrm{P} (a)$，$\mathrm{Q} (b)$ の距離：$|b-a|$

平方根

【定義】

$a$ の平方根：2乗して $a$ になる数

※$a>0$ のとき，$a$ の平方根は正と負の2つあり，そのうち正の数を $\sqrt{a}$，負の数を$- \sqrt{a}$ で表す。$a=0$ のとき，$\sqrt{a}=0$。

【定理】

$a \geqq 0$ のとき，

$( \sqrt{a} )^2=a$

$\sqrt{a} \geqq 0$

$\sqrt{a^2} =|a|= \left \{ \begin{array}{cl} a & (a \geqq 0 のとき) \\ -a & (a<0 のとき) \end{array} \right.$

$a>0$，$b>0$，$k>0$ のとき，

$\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}$

$\displaystyle{ \frac{ \sqrt{a}}{ \sqrt{b}} = \sqrt{ \frac{a}{b}}}$

$\sqrt{k^2a} =k \sqrt{a}$

平方根の近似値

• $\sqrt{2} =1.41421356$……
  ひとよひとよにひとみごろ(ひと夜ひと夜に人見ごろ)
• $\sqrt{3} =1.7320508$……
  ひとなみにおごれや(人並みにおごれや)
• $\sqrt{5} =2.2360679$……
  ふじさんろくおーむなく(富士山麓オーム鳴く)
• $\sqrt{7} =2.6457513$……
  なにむしいないいさん(菜に虫いない遺産)

2重根号

【定理】

$a>0$，$b>0$ のとき，

$\sqrt{(a+b)+2 \sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$

$a>b>0$ のとき，

$\sqrt{(a+b)-2 \sqrt{ab}} = \sqrt{a}- \sqrt{b}$