【定義・定理・公式】高校数学基本事項 - 数学Ⅰ - 関数とグラフ

関数

【定義】

2つの変数 $x$，$y$ の間にある関係があって，$x$ の値を定めるとそれに対応して $y$ の値がただ1つ定まるとき，$y$ は $x$ の関数であるという。

※$y$ が $x$ の関数であることを，文字 $f$ などを用いて $y=f(x)$ と表す。

※$x$ の関数を，単に関数 $\boldsymbol{y=f(x)}$ ともいう。

※関数 $y=f(x)$ において，$x=a$ のときの $y$ の値は $\boldsymbol{f(a)}$ で表される。

定義域：関数 $y=f(x)$ において，変数 $x$ のとりうる値の範囲( $x$ の変域)

値域：$x$ が定義域全体を動くとき，$f(x)$ がとる値の範囲( $y$ の変域)

最大値：関数 $y=f(x)$ の値域の最大の値

最小値：関数 $y=f(x)$ の値域の最小の値

関数のグラフ

【定義】

座標：平面上に座標軸を定めたとき，平面上の点 $P$ の位置を表した2つの実数の組 $(a,b)$

座標平面：座標軸の定められた平面

第1象限：点 $(a,b)$ の $x$ 座標 $a$ と $y$ 座標 $b$ の符号が $(+,+)$ の部分

第2象限：点 $(a,b)$ の $x$ 座標 $a$ と $y$ 座標 $b$ の符号が $(+,-)$ の部分

第3象限：点 $(a,b)$ の $x$ 座標 $a$ と $y$ 座標 $b$ の符号が $(-,-)$ の部分

第4象限：点 $(a,b)$ の $x$ 座標 $a$ と $y$ 座標 $b$ の符号が $(-,+)$ の部分

※座標軸上の点はどの象限にも属さない。

※点 $(a,b)$ が関数 $y=f(x)$ のグラフ上にある $\Leftrightarrow$ $b=f(a)$

関数のグラフ

定数関数 $y=a$ のグラフ

傾きが0，$y$ 切片が $a$ の，$x$ 軸に平行な直線。

※$x=a$ は点 $(p,0)$ を通り，$y$ 軸に平行な直線であるが，関数の定義に当てはまらないため関数ではない

1次関数 $y=ax+b$ ( $a \neq 0$ )のグラフ

傾きが $a$，$y$ 切片が $b$ の直線。

※$a>0$ のとき右上がり，$a<0$ のとき右下がりになる。

※$y=ax+b$ を直線の方程式という。

2次関数

【定義】

2次関数：$y$ が $x$ の2次式で表される関数

※2次関数の一般形：$y=ax^2+bx+c$ ( $a$，$b$，$c$ は定数，$a \neq 0$ )

※$y=ax^2+bx+c$ を放物線の方程式という。

軸：放物線の対称軸

※軸は直線であり，$x=p$ の形で表される。

頂点：放物線と軸の交点

2次関数のグラフ

2次関数 $y=ax^2$ のグラフ

軸が $y$ 軸，頂点が原点の放物線。

※$a>0$ のとき下に凸，$a<0$ のとき上に凸になる。

2次関数 $y=a(x-p)^2+q$ のグラフ

軸が $x=p$，頂点が点 $(p,q)$ の放物線。

※$y=ax^2$ のグラフを $x$ 軸方向に $p$，$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動したもの。

※$y=a(x-p)^2+q$ を2次関数の標準形という。

2次関数 $y=ax^2+bx+c$

軸が $x=- \frac{b}{2a}$，頂点が点 $\left( - \frac{b}{2a} ,- \frac{b^2-4ac}{4a} \right)$ の放物線。

※$y=ax^2+bx+c$ を2次関数の一般形といい，一般形を標準形に変形することを平方完成という。

$y=ax^2+bx+c$ $\Leftrightarrow$ $y=a \left( x+ \frac{b}{2a} \right)^2- \frac{b^2-4ac}{4a}$

グラフの平行移動

$x$ 軸方向に $p$，$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動すると

点：$(a,b)$ $\to$ $(a+p,b+q)$

グラフ：$y=f(x)$ $\to$ $y-q=f(x-p)$

※一般に，関数・方程式のグラフを平行移動する場合，$x$ に $x-p$，$y$ に $y-q$ を代入する。

$x$ 軸，$y$ 軸，原点に関して対称移動すると

$x$ 軸

点：$(a,b)$ $\to$ $(a,-b)$

グラフ：$y=f(x)$ $\to$ $-y=f(x)$

$y$ 軸

点：$(a,b)$ $\to$ $(-a,b)$

グラフ：$y=f(x)$ $\to$ $y=f(-x)$

原点

点：$(a,b)$ $\to$ $(-a,-b)$

グラフ：$y=f(x)$ $\to$ $-y=f(-x)$

※一般に，関数・方程式のグラフを $x$ 軸に関して対称移動する場合，$y$ に $-y$ を，$y$ 軸に関して対称移動する場合，$x$ に $-x$ を，原点に関して対称移動する場合，$x$，$y$ にそれぞれ $-x$，$-y$ を代入する。