【定義・定理・公式】高校数学基本事項 - 数学Ⅰ - 【補足】2次不等式の解法

2次不等式は解の形が多いため，自分の中でフローチャートを組み立てて解く練習をしないと，速く，正確に解くことが難しい。

以下，フローチャートの1例である。

ポイントは，$y=(左辺)$ のグラフの状態(浮き沈み，$x$ 切片)把握→解答の流れ。

$a>0$ に変形

2次不等式の左辺 $ax^2+bx+c$ において，$a<0$ のときは両辺に $-1$ を掛ける。

$y=(左辺)$ のグラフの状態把握

因数分解できるか確認

判別式より速く因数分解できるのであれば先に確認する。

因数分解できる $\Leftrightarrow$ グラフが $x$ 軸と交わる

特に，左辺が $( \ )^2$ の形に変形できる場合は，グラフは $x$ 軸に接する。

判別式の利用

因数分解の判断ができない，または，因数分解できない場合は判別式を利用する。

• $D \geqq 0$ の場合：$(左辺)=0$ の方程式を解いて $x$ 切片を求める。
• $D<0$ の場合：解は「すべての実数」か「なし」に絞られる。

解を求める

グラフの状態把握ができたら，不等号と照らし合わせて解を求める。

ポイントは，

• $ax^2+bx+c<0$ $\Leftrightarrow$ 「 $y=ax^2+bx+c$ のグラフが $x$ 軸より下になる $x$ の値の範囲は？」
• $ax^2+bx+c \leqq 0$ $\Leftrightarrow$ 「 $y=ax^2+bx+c$ のグラフが $x$ 軸以下になる $x$ の値の範囲は？」
• $ax^2+bx+c>0$ $\Leftrightarrow$ 「 $y=ax^2+bx+c$ のグラフが $x$ 軸より上になる $x$ の値の範囲は？」
• $ax^2+bx+c \geqq 0$ $\Leftrightarrow$ 「 $y=ax^2+bx+c$ のグラフが $x$ 軸以上になる $x$ の値の範囲は？」

と，不等号に応じて読み替えることで，解を全種類覚える必要がなくなる。