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【定義・定理・公式】高校数学基本事項 - 数学Ⅰ - 三角比の拡張

座標を用いた三角比の定義

【定義】

座標平面上の原点を中心とした半径 rr の円の円周上に点 P(x,y)\mathrm{P} (x,y) をとり，円と xx 軸正の向きの交点を点 A\mathrm{A}，∠AOP=θ\angle \mathrm{AOP} = \theta ( 0∘≦θ≦180∘0^{ \circ } \leqq \theta \leqq 180^{ \circ } )とすると

$\sin \theta = \frac{y}{r}$，$\cos \theta = \frac{x}{r}$，$\tan \theta = \frac{y}{x}$ ( $\theta \neq 90^{ \circ }$ )

※特に，半径1の円(単位円)の場合

$\sin \theta =y$，$\cos \theta =x$，$\tan \theta = \frac{y}{x}$ ( $\theta \neq 90^{ \circ }$ )

三角比の符号

$\theta$ $0^{ \circ }$ 鋭角 $90^{ \circ }$ 鈍角 $180^{ \circ }$
$\sin \theta$ $0$ $+$ $1$ $+$ $0$
$\cos \theta$ $1$ $+$ $0$ $-$ $-1$
$\tan \theta$ $0$ $+$ なし $-$ $0$

三角比の範囲

0∘≦θ≦180∘0^{ \circ } \leqq \theta \leqq 180^{ \circ } のとき

$0 \leqq \sin \theta \leqq 1$

$-1 \leqq \cos \theta \leqq 1$

$\tan \theta$ はすべての実数値をとる

三角比の角の変換

【定理】

180∘−θ180^{ \circ } - \theta の三角比( 0∘≦θ≦180∘0^{ \circ } \leqq \theta \leqq 180^{ \circ } )

$\sin (180^{ \circ } - \theta )= \sin \theta$

$\cos (180^{ \circ } - \theta )=- \cos \theta$

$\tan (180^{ \circ } - \theta )=- \tan \theta$

90∘+θ90^{ \circ } + \theta の三角比( 0∘≦θ≦90∘0^{ \circ } \leqq \theta \leqq 90^{ \circ } )

$\sin (90^{ \circ } + \theta )= \cos \theta$

$\cos (90^{ \circ } + \theta )=- \sin \theta$

$\tan (90^{ \circ } + \theta )=- \displaystyle \frac{1}{ \tan \theta}$ ( $\theta \neq 0^{ \circ },90^{ \circ }$ )

三角方程式

【定義】

三角方程式：未知の角の三角比を含む方程式

三角方程式を解く：方程式を満たす角を求めること

三角比の相互関係(2)

【定理】

0∘≦θ≦180∘0^{ \circ } \leqq \theta \leqq 180^{ \circ } のとき( tan⁡θ\tan \theta では θ≠90∘\theta \neq 90^{ \circ } )

$\tan \theta = \displaystyle \frac{ \sin \theta}{ \cos \theta}$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta =1$

$1+ \tan \theta = \displaystyle \frac{1}{ \cos^2 \theta}$

直線の傾きと正接

傾き mm の直線と xx 軸の性の向きとのなす角を θ\theta ( 0∘≦ θ<180∘0^{ \circ } \leqq \theta < 180^{ \circ } )とすると m=tan⁡θ\boldsymbol{m= \tan \theta} ( θ≠90∘\theta \neq 90^{ \circ } )である。