【定義・定理・公式】高校数学基本事項 - 数学Ⅱ - 整式の除法，分数式

整式の割り算

整式 $A$ を整式 $B$ で割るときには，次のことに注意する。

• $A$ も $B$ も降べきの順に整理してから割り算を行う。
• 余りの次数が割る式 $B$ の次数より低くなるか，あまりが0になるまで計算を続ける。

【定理】

割り算の基本公式

同じ1つの文字についての2つの整式 $A$，$B$ ( $B \neq 0$ )において，$A$ を $B$ で割ったときの商を $Q$，余りを $R$ とすると

$A=BQ+R$

ただし，$R$ は0か，$B$ より次数の低い整式。

分数式の計算

基本性質

$\displaystyle \frac{A}{B} = \frac{AC}{BC}$ (ただし $C \neq 0$ )

四則計算

• 加法：$\displaystyle \frac{A}{C} + \frac{B}{C} = \frac{A+B}{C}$
• 減法：$\displaystyle \frac{A}{C} - \frac{B}{C} = \frac{A-B}{C}$
• 乗法：$\displaystyle \frac{A}{B} \times \frac{C}{D} = \frac{AC}{BD}$
• 除法：$\displaystyle \frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \times \frac{D}{C} = \frac{AD}{BC}$

繁分数式の計算

【定義】

繁分数式：分母や分子に整式を含む式

※$\frac{A}{B} =A \div B$ を利用して，分子を分母で割る，または，$\frac{A}{B} = \frac{A \times C}{B \times C}$ を利用して，分母や分子の分数式を整式にする。

部分分数分解

【定義】

部分分数分解：1つの分数式を，それ以上簡単にできない2つ以上の分数式の和として表すこと

例)

$\displaystyle \frac{1}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}$

$\displaystyle \frac{2x-1}{x(x-1)} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x-1}$