【定義・定理・公式】高校数学基本事項 - 数学Ⅱ - 恒等式

恒等式の定義

【定義】

恒等式：含まれている各文字にどのような値を代入しても，その両辺の式の値が存在する限り，等号が常に成り立つ等式

恒等式の性質

【定理】

恒等式の性質

$P$，$Q$ が $x$ についての整式であるとき

$P=0$ が恒等式 $\Leftrightarrow$ $P$ の各項の係数は全て0

$P=Q$ が恒等式 $\Leftrightarrow$ $P$ と $Q$ の次数は等しく，両辺の同じ次数の項の係数はそれぞれ等しい。

$P$，$Q$ が $x$ についての $n$ 次以下の整式であるとき

等式 $P=Q$ が $(n+1)$ 個の異なる $x$ の値に対して成り立つ $\Leftrightarrow$ 等式 $P=Q$ は $x$ についての恒等式

未定係数法

恒等式の未知の係数(未定係数)を求めるには，恒等式の性質を利用した2通りの方法がある。

• 係数比較法：両辺の同じ次数の項の係数がそれぞれ等しい。
• 数値代入法：両辺に適当な数字をいくつか代入して，連立方程式などを解く。数値代入法を用いた場合，逆の確認が必要となる。