【定義・定理・公式】高校数学基本事項 - 数学Ⅱ - 解と係数の関係

2次方程式の解と係数の関係

【定理】

2次方程式の解と係数の関係

2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の2つの解を $\alpha$，$\beta$ とすると

$\alpha + \beta =- \displaystyle \frac{b}{a}$

$\alpha \beta = \displaystyle \frac{c}{a}$

3次方程式の解と係数の関係

3次方程式 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ の3つの解を $\alpha$，$\beta$，$\gamma$ とすると

$\alpha + \beta + \gamma =- \displaystyle \frac{b}{a}$

$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = \displaystyle \frac{c}{a}$

$\alpha \beta \gamma =- \displaystyle \frac{d}{a}$

2次式の因数分解

2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の2つの解を $\alpha$，$\beta$ とすると

$ax^2+bx+c=a(x- \alpha)(x- \beta)$

3次式の因数分解

3次方程式 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ の3つの解を $\alpha$，$\beta$，$\gamma$ とすると

$ax^3+bx^2+cx+d=a(x- \alpha)(x- \beta)(x- \gamma)$

2次方程式の作成

2数を解とする2次方程式

2数 $\alpha$，$\beta$ を解とする2次方程式の1つは

$(x- \alpha)(x- \beta)=0$ すなわち $x^2-(\alpha + \beta)x+ \alpha \beta =0$

和・積が与えられた2数を解にもつ2次方程式

和が $p$，積が $q$ である2数は 2次方程式 $x^2-px+q=0$ の2解である。

2次方程式の実数解の符号

2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の2つの実数解を $\alpha$，$\beta$，判別式を $D=b^2-4ac$ とする。

• $\alpha >0$ かつ $\beta >0$ $\Leftrightarrow$ $D \geqq 0$，$\alpha + \beta >0$，$\alpha \beta >0$
• $\alpha <0$ かつ $\beta <0$ $\Leftrightarrow$ $D \geqq 0$，$\alpha + \beta <0$，$\alpha \beta <0$
• $\alpha$ と $\beta$ が異符号 $\Leftrightarrow$ $\alpha \beta <0$
  ※このとき $D>0$ が常に成立する。

「2次方程式の解の存在範囲」と「2次関数のグラフと $x$ 軸との位置関係」

2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の2つの実数解を $\alpha$，$\beta$，判別式を $D=b^2-4ac$，$f(x)=ax^2+bx+c$ とすると，2次関数 $y=f(x)$ と $x$ 軸との共有点は $( \alpha ,0)$，$( \beta ,0)$，2次関数の軸は $x=- \frac{b}{2a}$ であり

• $\alpha >k$ かつ $\beta >k$
  $\Leftrightarrow$ $D \geqq 0$，$( \alpha -k)+( \beta -k)>0$，$( \alpha -k)( \beta -k) >0$
  $\Leftrightarrow$ $D \geqq 0$，$- \frac{b}{2a} >k$，$f(k)>0$
• $\alpha <k$ かつ $\beta <k$
  $\Leftrightarrow$ $D \geqq 0$，$( \alpha -k)+( \beta -k) <0$，$( \alpha -k)( \beta -k)<0$
  $\Leftrightarrow$ $D \geqq 0$，$- \frac{b}{2a} <k$，$f(k)>0$
• $\alpha <k< \beta$ または $\beta <k< \alpha$
  $\Leftrightarrow$ $( \alpha -k)( \beta -k)<0$
  $\Leftrightarrow$ $f(k)<0$
  ※このとき $D>0$ が常に成立する。