【定義・定理・公式】高校数学基本事項 - 数学Ⅱ - 直線

直線の方程式

直線の方程式の一般形：$ax+by+c=0$

傾きが $m$，$y$ 切片 $n$ の直線の方程式：$y=mx+n$

点 $(x_1,y_1)$ を通り，$x$ 軸に垂直な直線の方程式：$x=x_1$

点 $(x_1,y_1)$ を通り，$y$ 軸に垂直な直線の方程式：$y=y_1$

点 $(x_1,y_1)$ を通り，傾きが $m$ の直線の方程式：$y-y_1=m(x-x_1)$

2点 $(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$ を通る直線の方程式

$x_1 \neq x_2$ のとき：$y-y_1= \displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

$x_1=x_2$ のとき：$x=x_1$

$y_1=y_2$ のとき：$y=y_1$

2直線の平行・垂直

2直線 $l_1:y=m_1x+n_1$，$l_2:y=m_2x+n_2$ に対して

• 平行条件：$l_1 /\!/ l_2$ $\Leftrightarrow$ $m_1=m_2$
• 垂直条件：$l_1 \perp l_2$ $\Leftrightarrow$ $m_1m_2=-1$

2直線 $l_1:a_1x+b_1y+c_1=0$，$l_2:a_2x+b_2y+c_2=0$ に対して

• 平行条件：$l_1 /\!/ l_2$ $\Leftrightarrow$ $a_1b_2-a_2b_1=0$
• 垂直条件：$l_1 \perp l_2$ $\Leftrightarrow$ $a_1a_2+b_1b_2=0$

2直線の共有点と連立1次方程式の解

2直線とこれらの連立方程式に対して

• 2直線が1点で交わる $\Leftrightarrow$ 連立方程式はただ1組の解をもつ
• 2直線が平行で一致しない $\Leftrightarrow$ 連立方程式は解をもたない
• 2直線が一致する $\Leftrightarrow$ 連立方程式は無数の解をもつ

2直線の交点を通る直線

交わる2直線 $l_1:a_1x+b_1y+c_1=0$，$l_2:a_2x+b_2y+c_2=0$ に対し，$k$ を定数とすると，方程式 $k(a_1x+b_1y+c_1)+a_2x+b_2y+c_2=0$ は，その2直線の交点を通る $l_1$ 以外の直線を表す。

直線に関して対称な点

2点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ が直線 $l$ に関して対称 $\Leftrightarrow$ 直線 $\mathrm{AB} \perp l$ かつ 線分 $\mathrm{AB}$ の中点が $l$ 上にある

点と直線の距離

【定理】

点と直線の距離

点 $(x_1,y_1)$ と直線 $ax+by+c=0$ の距離 $d$ は

$d= \displaystyle \frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$