【定義・定理・公式】高校数学基本事項 - 数学Ⅱ - 一般角と三角関数

一般角

【定義】

正の角：始線 $\mathrm{OX}$ から反時計回りに測った角

負の角：始線 $\mathrm{OX}$ から時計回りに測った角

動径 $\boldsymbol{\mathrm{OP}}$ の表す角 $\theta$：動径 $\mathrm{OP}$ と始線 $\mathrm{OX}$ のなす角の1つを $\alpha$ とすると $\theta = \alpha +360^{ \circ } \times n$ ( $n$ は整数)

弧度法

【定義】

弧度法：弧の長さが $l$，半径が $r$ の円弧のなす中心角 $\theta$ を $\theta = \frac{l}{r}$ で定義する角度の表し方

※度数法と違い単位をつける必要はないが，あえてつけるなら「rad」「ラジアン」「弧度」のいずれかをを用いる。

※ $180^{ \circ }= \pi$ ラジアン
　$1^{ \circ }= \displaystyle \frac{\pi}{180}$ ラジアン
　$1$ ラジアン $= \left( \displaystyle \frac{180}{\pi} \right)^{ \circ } \fallingdotseq 57.3^{ \circ }$

動径 $\boldsymbol{\mathrm{OP}}$ の表す角 $\theta$：動径 $\mathrm{OP}$ と始線 $\mathrm{OX}$ のなす角の1つを $\alpha$ とすると $\theta = \alpha +2n \pi$ ( $n$ は整数)

扇形の弧の長さと面積

半径 $r$，中心角 $\theta$ の扇形について

• 弧の長さ $l$：$l=r \theta$
• 面積 $S$：$S= \displaystyle \frac{1}{2} r^2 \theta = \frac{1}{2} lr$

三角関数の定義

【定義】

単位円：原点を中心とする半径 $1$ の円

三角関数(1)：座標平面上で，$x$ 軸の正の部分を始線にとり，一般角 $\theta$ の動径と，原点を中心とする半径 $r$ の円との交点を $\mathrm{P} (x,y)$ とすると

• $\sin \theta = \displaystyle \frac{y}{r}$
• $\cos \theta = \displaystyle \frac{x}{r}$
• $\tan \theta = \displaystyle \frac{y}{x}$
  $\theta = \frac{\pi}{2} +n \pi$ ( $n$ は整数)に対しては $\tan \theta$ の値を定義しない。

三角関数(2)：角 $\theta$ の動径と単位円の交点を $\mathrm{P} (x,y)$ とし，直線 $\mathrm{OP}$ と直線 $x=1$ の交点を $\mathrm{T} (1,m)$ とすると

• $\sin \theta =y$
• $\cos \theta =x$
• $\tan \theta =m$

三角関数の範囲

角 $\theta$ がすべての実数をとるとき

• $-1 \leqq \sin \theta \leqq 1$
• $-1 \leqq \cos \theta \leqq 1$
• $\tan \theta$ はすべての実数をとる

三角関数の相互関係

• $\tan \theta = \displaystyle \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$
• $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta =1$
• $1+ \tan^2 \theta = \displaystyle \frac{1}{\cos^2 \theta}$