【定義・定理・公式】高校数学基本事項 - 数学Ⅱ - 対数関数

対数

対数：$a>0$，$a \neq 1$，$M>0$ のとき $a^p=M$ $\Leftrightarrow$ $p= \log_aM$ すなわち $\log_aa^p =p$，$a^{\log_aM}=M$

$a>0$，$a \neq 1$ とするとき，任意の正の数 $M$ に対して，$a^p=M$ となる実数 $p$ がただ1つ定まる。この $p$ の値を $\boldsymbol{\log_aM}$ で表し，$a$ を底とする $M$ の対数という。また，$M$ をこの対数の真数という。なお，$a^p>0$ であるから，真数 $\boldsymbol{M}$ は正の数でなければならない。

対数の性質

【定理】

対数の性質

$a>0$，$b>0$，$c>0$，$a \neq 1$，$b \neq 1$，$c \neq 1$，$M>0$，$N>0$，$k$ は実数のとき

• $\log_aa=1$
• $\log_a1=0$
• $\log_a \frac{1}{a} =-1$
• $\log_aMN= \log_aM + \log_aN$
• $\log_a \displaystyle \frac{M}{N} = \log_aN - \log_aN$　特に　$\log_a \displaystyle \frac{1}{N} =- \log_aN$
• $\log_aM^k=k \log_aM$　特に　$\log_a \sqrt[n]{M} = \displaystyle \frac{1}{n} \log_aM$
• 底の変換公式：$\log_ab = \displaystyle \frac{\log_cb}{\log_ca}$　特に　$\log_ab = \displaystyle \frac{1}{\log_ba}$

対数関数

【定義】

$a$ を底とする $x$ の対数関数：$y= \log_ax$ ( $a>0$，$a \neq 1$ )

対数関数のグラフ

指数関数のグラフの特徴・性質

• 曲線
• 対数関数 $y= \log_ax$ のグラフは，指数関数 $y=a^x$ のグラフと直線 $y=x$ に関して対象
• 点 $(1,0)$，$(a,1)$ を通る
• $y$ 軸が漸近線
• $0<a<1$ のとき減少関数：$0<p<q$ $\Leftrightarrow$ $\log_ap> \log_aq$
• $1<a$ のとき増加関数：$0<p<q$ $\Leftrightarrow$ $\log_ap< \log_aq$
• 定義域は正の数全体，値域は実数全体

対数方程式・対数不等式

$a>0$，$a=1$ とし，$b$ は正の定数とする

• 方程式 $\log_ax=\log_ab$ の解は $x=b$
• 不等式 $\log_ax>\log_ab$ の解は $0<a<1$ のとき $0<x<b$，$1<a$ のとき$b<x$
• 不等式 $\log_ax<\log_ab$ の解は $0<a<1$ のとき $b<x$，$1<a$ のとき$0<x<b$

桁数・小数首位と常用対数

【定義】

常用対数：底が10の対数

小数首位：$0<M<1$ である小数 $M$ の初めて $0$ でない数字が現れる位

自然対数 $N$ が $n$ 桁 $\Leftrightarrow$ $10^{n-1} \leqq N<10^n$ $\Leftrightarrow$ $n-1 \leqq \log_{10}N<n$

小数首位が小数第 $n$ 位 $\Leftrightarrow$ $\frac{1}{10^n} \leqq M< \frac{1}{10^{n-1}}$ $\frac{}{}\Leftrightarrow$ $-n \leqq \log_{10}M <-n+1$