【定義・定理・公式】高校数学基本事項 - 数学Ⅲ - 複素数平面

複素数平面

【定義】

複素数平面(複素平面)：複素数 $z=a+bi$ を点 $\mathrm{P}(a,b)$ に対応させた座標平面

※$z=a+bi$ を表す点 $\mathrm{P}$ を，$\mathrm{P}(z)$，$\mathrm{P}(a+bi)$，点 $z$ と表す。

実軸：複素数平面における $x$ 軸

虚軸：複素数平面における $y$ 軸

共役複素数( $\boldsymbol{\overline{z}}$ )：複素数 $z=a+bi$ に対して $\overline{z}=a-bi$

複素数の和，差，実数倍はベクトルのそれと類似する。また，図示に関しても同様である。

2つの複素数 $\alpha=a+bi$ ， $\beta=c+di$ ，2つのベクトル $\overrightarrow{OA}=(a,b)$ ， $\overrightarrow{OB}=(c,d)$ ，実数 $k$ に対して

	複素数	ベクトル
和	$\alpha+\beta=(a+c)+(b+d)i$	$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=(a+c,b+d)$
差	$\alpha-\beta=(a-c)+(b-d)i$	$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=(a-c,b-d)$
実数倍	$k\alpha=ka+kbi$	$k\overrightarrow{OA}=(ka,kb)$
絶対値	$\|\alpha\|=\sqrt{a^2+b^2}$	$\|\overrightarrow{OA}\|=\sqrt{a^2+b^2}$
距離	$\mathrm{AB}=\|\beta-\alpha\|$	$\mathrm{AB}=\|\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\|$

【定理】

共役複素数の性質

実数の条件・純虚数の条件

$z$ が実数 $\Leftrightarrow$ $\overline{z}=z$
$z$ が純虚数 $\Leftrightarrow$ $\overline{z}=-z$ ( $z\neq0$ )
$z+\overline{z}$，$z\overline{z}$ は常に実数
※特に，$z\overline{z}=|z|^2$ より $z\overline{z}\geqq0$
$z$ が実数でないとき，$z-\overline{z}$ は常に純虚数

共役複素数の演算

$\overline{\alpha+\beta}=\overline{\mathstrut\alpha}+\overline{\mathstrut\beta}$
$\overline{\alpha-\beta}=\overline{\mathstrut\alpha}-\overline{\mathstrut\beta}$
$\overline{\alpha\beta}=\overline{\mathstrut\alpha} \ \overline{\mathstrut\beta}$
$\displaystyle{\overline{\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)}=\frac{\overline{\alpha}}{\overline{\beta}}}$ ( $\beta\neq0$ )
$\overline{\overline{\alpha}}=\alpha$