【定義・定理・公式】高校数学基本事項 - 数学Ⅲ - 2次曲線

放物線

【定義】

放物線：平面上で，定点 $\mathrm{F}$ からの距離と，$\mathrm{F}$ を通らない定直線 $l$ からの距離が等しい点の軌跡

放物線の方程式の標準形：$y^2=4px$ ( $p\neq 0$ )

焦点：放物線の定義における点 $\mathrm{F}$

準線：放物線の定義における定直線 $l$

【定理】

放物線の性質

放物線 $y^2=4px$ ( $p\neq 0$ )

• 頂点：原点
• 焦点：点 $(p,0)$
• 準線：直線 $x=-p$
• 軸：$x$ 軸
• 曲線は軸に関して対称

放物線 $x^2=4py$ ( $p\neq 0$ )

• 頂点：原点
• 焦点：点 $(0,p)$
• 準線：直線 $y=-p$
• 軸：$y$ 軸
• 曲線は軸に関して対称

楕円

【定義】

楕円：平面上で，2定点 $\mathrm{F}$，$\mathrm{F'}$ からの距離の和が一定である点の軌跡

楕円の方程式の標準形：$\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$ ( $a>b>0$ )

焦点：楕円の定義における2点 $\mathrm{F}$，$\mathrm{F'}$

長軸：楕円によって切り取られた座標軸の長い方

短軸：楕円によって切り取られた座標軸の短い方

【定理】

楕円の性質

楕円 $\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$ ( $a>b>0$ )

• 楕円上の任意の点から2つの焦点までの距離の和：$2a$
• 中心：原点
• 長軸の長さ：$2a$
• 短軸の長さ：$2b$
• 焦点：$\mathrm{F}(\sqrt{a^2-b^2},0)$，$\mathrm{F'}(-\sqrt{a^2-b^2},0)$
• 曲線は $x$ 軸，$y$ 軸，原点に関して対称
• 円 $x^2+y^2=a^2$ を $x$ 軸をもとにして $y$ 軸の方向に $\frac{b}{a}$ 倍に縮小した曲線

楕円 $\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$ ( $b>a>0$ )

• 楕円上の任意の点から2つの焦点までの距離の和：$2b$
• 中心：原点
• 長軸の長さ：$2b$
• 短軸の長さ：$2a$
• 焦点：$\mathrm{F}(0,\sqrt{a^2-b^2})$，$\mathrm{F'}(0,-\sqrt{a^2-b^2})$
• 曲線は $x$ 軸，$y$ 軸，原点に関して対称
• 円 $x^2+y^2=b^2$ を $y$ 軸をもとにして $x$ 軸の方向に $\frac{a}{b}$ 倍に縮小した曲線

双曲線

【定義】

双曲線：平面上で，2定点 $\mathrm{F}$，$\mathrm{F'}$ からの距離の差が一定である点の軌跡

双曲線の方程式の標準形：$\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1}$ ( $a>0$，$b>0$ )

焦点：双曲線の定義における2点 $\mathrm{F}$，$\mathrm{F'}$

【定理】

双曲線の性質

双曲線 $\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1}$ ( $a>0$，$b>0$ )

• 双曲線上の任意の点から2つの焦点までの距離の差：$2a$
• 中心：原点
• 頂点：$(a,0)$，$(-a,0)$
• 焦点：$\mathrm{F}(\sqrt{a^2+b^2},0)$，$\mathrm{F'}(-\sqrt{a^2+b^2},0)$
• 曲線は $x$ 軸，$y$ 軸，原点に関して対称
• 漸近線：$y=\pm\displaystyle\frac{b}{a}x$

双曲線 $\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1}$ ( $a>0$，$b>0$ )

• 楕円上の任意の点から2つの焦点までの距離の和：$2b$
• 中心：原点
• 頂点：$(0,b)$，$(0,-b)$
• 焦点：$\mathrm{F}(0,\sqrt{a^2+b^2})$，$\mathrm{F'}(0,-\sqrt{a^2+b^2})$
• 曲線は $x$ 軸，$y$ 軸，原点に関して対称
• 漸近線：$y=\pm\displaystyle\frac{b}{a}x$

2次曲線の平行移動

曲線 $F(x,y)=0$ を $x$ 軸方向に $p$，$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動して得られる曲線の方程式は

$F(x-p,y-q)=0$

方程式が標準形で表される2次曲線を平行移動したときの曲線の方程式は

$ax^2+cy^2+dx+ey+f=0$

2次曲線を平行移動だけでなく，回転・対称移動したときの曲線の方程式は

$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$

※平行移動だけなら $xy$ の項は現れない。