【定義・定理・公式】高校数学基本事項 - 数学Ⅲ - 極座標と極方程式

極座標

【定義】

極座標，極，始線，偏角

平面上に点 $\mathrm{O}$ と半直線 $\mathrm{OX}$ を定めると，平面上の任意の点 $\mathrm{P}$ の位置は，$\mathrm{OP}$ の長さ $r$ と，$\mathrm{OX}$ から半直線 $\mathrm{OP}$ へ測った角 $\theta$ で決まる。ただし，$\theta$ は弧度法で表した一般角である。このとき，2つの数の組 $(r,\theta)$ を点 $\mathrm{P}$ の極座標といい，定点 $\mathrm{O}$ を極，半直線 $\mathrm{OX}$ を始線，角 $\theta$ を偏角という。

※極 $\mathrm{O}$ の極座標は $\theta$ を任意の数として $(0,\theta)$ で定める。

※極座標では $(r,\theta)$ と $(r,\theta+2n\pi)$ ( $n$ は整数)は同じ点を表すため，ある点 $\mathrm{P}$ の極座標は1通りに定まらないが，極 $\mathrm{O}$ 以外の点に対して $0\leqq\theta <2\pi$ と制限すると $\mathrm{P}$ の極座標は1通りに定まる。

極座標と直交座標

原点 $\mathrm{O}$ を極，$x$ 軸の正の部分を始線としたとき，点 $\mathrm{P}$ の直交座標を $(x,y)$，極座標を $(r,\theta)$ とすると

$\left \{ \begin{array}{l} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \end{array} \right.$

$\left \{ \begin{array}{l} r=\sqrt{x^2+y^2} \\ r\neq 0 のとき \cos\theta=\displaystyle\frac{x}{r},\sin\theta=\displaystyle\frac{y}{r} \end{array} \right.$

2点間の距離，三角形の面積

$\mathrm{O}$ を極とする極座標で表された2点 $\mathrm{A}(r_1,\theta_1)$，$\mathrm{B}(r_2,\theta_2)$ ( $r_1>0$，$r_2>0$，$\theta_2\geqq\theta_1$ )に対して

• 2点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ 間の距離：$\mathrm{AB}=\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos(\theta_2-\theta_1)}$
• 三角形 $\mathrm{OAB}$ の面積 $S$：$S=\displaystyle\frac{1}{2}r_1r_2|\sin(\theta_2-\theta_1)|$

円，直線の極方程式

• 中心が極 $\mathrm{O}$，半径が $a$ の円：$r=a$
• 中心が $(a,0)$，半径が $a$ の円：$r=2a\cos\theta$
• 中心が $(r_0,\theta_0)$，半径が $a$ の円：$r^2+r_0^2-2rr_0\cos(\theta-\theta_0)=a^2$
• 極 $\mathrm{O}$ を通り，始線と $\alpha$ の角をなす直線：$\theta=\alpha$
• 点 $\mathrm{A}(a,\alpha)$ を通り，$\mathrm{OA}$ に垂直な直線：$r\cos(\theta-\alpha)=a$ ( $a>0$ )

※極方程式では $r<0$ の場合も考える。$r>0$ のとき，$(-r,\theta)$ と $(r,\theta+\pi)$ は同じ点である。