【定義・定理・公式】高校数学基本事項 - 数学Ⅲ - 逆関数と合成関数

逆関数とグラフ

【定義】

逆関数

関数 $y=f(x)$ に対して，$y=f(x)$ $\Leftrightarrow$ $x=g(x)$ のとき，$y=g(x)$ を $y=f(x)$ の逆関数といい，$y=f^{-1}(x)$ で表す。

【定理】

逆関数の性質

• $f(x)$ と $f^{-1}(x)$ とでは，定義域と値域が入れ替わる。
• 関数 $f(x)$ が逆関数 $f^{-1}(x)$ をもつとき
  $b=f(a)$ $\Leftrightarrow$ $a=f^{-1}(b)$
• $y=f(x)$ と $y=f^{-1}(x)$ のグラフは直線 $y=x$ に関して対称である。

合成関数

【定義】

合成関数

2つの関数 $y=f(x)$，$z=g(y)$ があり，$f(x)$ の値域が $g(y)$ の定義域に含まれているとき，$g(y)$ に $y=f(x)$ を代入して得られる関数 $z=g(f(x))$ を，$f(x)$ と $g(y)$ の合成関数といい，記号で $(g\circ f)(x)$ と表す。すなわち $(g\circ f)(x)=g(f(x))$

※一般に，合成関数 $(g\circ f)(x)$ と $(f\circ g)(x)$ は一致しない。