【定義・定理・公式】高校数学基本事項 - 数学Ⅲ - 微分係数と導関数の計算

微分係数と導関数

【定義】

微分係数

関数 $f(x)$ の $x=a$ における微分係数 $\boldsymbol{f'(a)}$ は

$f'(a)= \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

$\boldsymbol{x=a}$ で連続

関数 $f(x)$ が $x=a$ で微分可能ならば，$f(x)$ は $\boldsymbol{x=a}$ で連続である。(逆は不成立)

導関数

関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ は

$f'(x)= \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$

導関数の公式

【定理】

関数 $f(x)$，$g(x)$ は微分可能であり，$k$，$l$ を定数とする。

導関数の性質

• 定数倍：$\{kf(x)\}'=kf'(x)$
• 和：$\{f(x)+g(x)\}'=f'(x)+g'(x)$
• 差：$\{f(x)-g(x)\}'=f'(x)-g'(x)$
• $\{kf(x)+lg(x)\}'=kf'(x)+lg'(x)$

積の導関数

• $\{f(x)g(x)\}=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

商の導関数

• $\displaystyle{\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}}$
• $\displaystyle{\left\{\frac{1}{g(x)}\right\}'=-\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}}$

合成関数の導関数

$y=f(u)$ が $u$ の関数として微分可能，$u=g(x)$ が $x$ の関数として微分可能であるとき

• $\displaystyle{\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}}$ すなわち $\{f(g(x))\}'=f'(g(x))g'(x)$

特に，$a$，$b$ を定数，$n$ を整数とすると

• $\{f(ax+b)\}'=af'(ax+b)$
• $[\{f(x)\}^n]'=n\{f(x)\}^{n-1}f'(x)$

逆関数の導関数

• $\displaystyle{\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}}$

$\boldsymbol{x^p}$ の導関数

$p$ が有理数のとき

• $(x^p)'=px^{p-1}$