【定義・定理・公式】高校数学基本事項 - 数学Ⅲ - 速度と近似値

直線上の点の運動

数直線状を運動する点 $\mathrm{P}$ の時刻 $t$ における座標が $t$ の関数 $x=f(t)$ で表されるとき

• 速度：$v=\displaystyle\frac{dx}{dt}=f'(t)$
• 速さ：$|v|$
• 加速度：$\alpha=\displaystyle\frac{dv}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}=f^{\prime\prime}(t)$
• 加速度の大きさ：$|\alpha|$

平面上の点の運動

坐法平面状を運動する点 $\mathrm{P}$ の時刻 $t$ における座標 $(x,y)$ が $t$ の関数であるとき

• 速度：$\displaystyle{\vec{v}=\left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right)}$
• 速さ：$\displaystyle{|\vec{v}|=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}}$
• 加速度：$\displaystyle{\vec{\alpha}=\left(\frac{d^2x}{dt^2},\frac{d^2y}{dt^2}\right)}$
• 加速度の大きさ：$\displaystyle{|\vec{\alpha}|=\sqrt{\left(\frac{d^2x}{dt^2}\right)^2+\left(\frac{d^2y}{dt^2}\right)^2}}$

※速度，加速度はベクトルである。一方，速さ，加速度の大きさは $0$ 以上の実数である。

近似式

1次の近似式

• $h\fallingdotseq 0$ のとき $f(a+h)\fallingdotseq f(a)+f'(a)h$
• $x\fallingdotseq 0$ のとき $f(x)\fallingdotseq f(0)+f'(0)x$

$y=f(x)$ において，$x$ の増分 $\Delta x$ に対する $y$ の増分を $\Delta y$ とすると

• $\Delta x\fallingdotseq 0$ のとき $\Delta y\fallingdotseq y'\Delta x$