【定義・定理・公式】高校数学基本事項 - 数学Ⅲ - 不定積分

不定積分とその基本性質

【定義】

不定積分

$F'(x)=f(x)$ のとき

$\displaystyle\int f(x)dx=F(x)+C$ ( $C$ は積分定数)

原始関数：不定積分の定義における $F(x)$

【定理】

不定積分の基本性質

$k$，$l$ を定数とする。

• 定数倍：$\displaystyle\int kf(x)dx=k\displaystyle\int f(x)dx$
• 和：$\displaystyle\int\{f(x)+g(x)\}dx=\displaystyle\int f(x)dx+\displaystyle\int g(x) dx$
• 差：$\displaystyle\int\{f(x)-g(x)\}dx=\displaystyle\int f(x)dx-\displaystyle\int g(x) dx$
• $\displaystyle\int\{kf(x)+lg(x)\}dx=k\displaystyle\int f(x)dx+l\displaystyle\int g(x) dx$

基本的な不定積分

$C$ を積分定数とする。

関数 $\boldsymbol{y=x^\alpha}$

• $\alpha\neq -1$ のとき $\displaystyle\int x^\alpha dx=\displaystyle\frac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}+C$
• $\alpha=-1$ のとき $\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{x}dx=\log|x|+C$

関数 $\boldsymbol{y=ax+b}$

$F'(x)=f(x)=ax+b$，$a\neq 0$ とする

• $\displaystyle\int f(ax+b)dx=\displaystyle\frac{1}{a}F(ax+b)+C$

三角関数

• $\displaystyle\int\sin xdx=-\cos x+C$
• $\displaystyle\int\cos xdx=\sin x+C$
• $\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{\cos^2x}dx=\tan x+C$
• $\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{\sin^2x}dx=-\frac{1}{\tan x}+C$

指数関数

• $\displaystyle\int e^xdx=e^x+C$
• $\displaystyle\int a^xdx=\displaystyle\frac{a^x}{\log a}+C$

置換積分法

• $\displaystyle\int f(x)dx=\displaystyle\int f(g(t))g'(t)dt$ ( $x=g(t)$ )
• $\displaystyle\int f(g(x))g'(x)dx=\displaystyle\int f(u)du$ ( $g(x)=u$ )
• $\displaystyle\int\displaystyle\frac{g'(x)}{g(x)}dx=\log|g(x)|+C$ ( $C$ は積分定数)

部分積分法

• $\displaystyle\int f(x)g'(x)=f(x)g(x)-\displaystyle\int f'(x)g(x)dx$
• $g'(x)=1$ とすると $\displaystyle\int f(x)dx=xf(x)-\displaystyle\int xf'(x)dx$