【定義・定理・公式】高校数学基本事項 - 数学Ⅲ - 面積

面積

$\boldsymbol{x}$ 軸，曲線 $\boldsymbol{y=f(x)}$，2直線 $\boldsymbol{x=a}$，$\boldsymbol{x=b}$ で囲まれた部分の面積 $\boldsymbol{S}$

閉区間 $[a,b]$ において常に $f(x)\geqq 0$ のとき

$S=\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx$

閉区間 $[a,b]$ において常に $f(x)\leqq 0$ のとき

$S=\displaystyle\int_{a}^{b}\{-f(x)\}dx$

2曲線 $\boldsymbol{y=f(x)}$，$\boldsymbol{y=g(x)}$，2直線 $\boldsymbol{x=a}$，$\boldsymbol{x=b}$ で囲まれた部分の面積 $\boldsymbol{S}$

閉区間 $[a,b]$ において常に $f(x)\geqq g(x)$ のとき

$S=\displaystyle\int_{a}^{b}\{f(x)-g(x)\}dx$

$\boldsymbol{y}$ 軸，曲線 $\boldsymbol{x=f(y)}$，2直線 $\boldsymbol{y=c}$，$\boldsymbol{y=d}$ で囲まれた部分の面積 $\boldsymbol{S}$

閉区間 $[c,d]$ において常に $f(y)\geqq 0$ のとき

$S=\displaystyle\int_{c}^{d}f(y)dy$

閉区間 $[c,d]$ において常に $f(y)\leqq 0$ のとき

$S=\displaystyle\int_{c}^{d}\{-f(y)\}dy$

2曲線 $\boldsymbol{x=f(y)}$，$\boldsymbol{x=g(y)}$，2直線 $\boldsymbol{y=c}$，$\boldsymbol{y=d}$ で囲まれた部分の面積 $\boldsymbol{S}$

閉区間 $[c,d]$ において常に $f(y)\geqq g(y)$ のとき

$S=\displaystyle\int_{c}^{d}\{f(y)-g(y)\}dy$

媒介変数で表された曲線と面積

曲線の方程式が媒介変数 $t$ によって $x=f(t)$，$y=g(t)$ で表されるとき，曲線と $x$ 軸と2直線 $x=a$，$x=b$ ( $a<b$ )で囲まれた部分の面積 $S$ は，常に $y\geqq 0$ なら

$S=\displaystyle\int_{a}^{b}ydx=\int_{\alpha}^{\beta}g(t)f'(t)dt$ ( $a=f(\alpha)$，$b=f(\beta)$ )