【定義・定理・公式】高校数学基本事項 - 数学A - 集合の要素の個数，場合の数，順列

集合の要素の個数

【定義】

有限集合：要素の個数が有限である集合

【定理】

個数定理

$A$，$B$ は有限集合で，$n(P)$ を有限集合 $P$ の要素の個数とすると

和集合の要素の個数

• $n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B)$
• $A \cap B= \varnothing$ のとき $n(A \cup B)=n(A)+n(B)$

補集合の要素の個数

• $n( \overline{A} )=n(U)-n(A)$

場合の数

すべての場合をもれなく書き出し，重複することなく数え上げる。

樹形図(tree)：次々と枝分かれしていく図で表す方法

辞書式配列法：辞書の単語のようにアルファベット順に並べる方法

法則

【法則】

和の法則

2つの事柄AとBの起こり方に重複はないとする。Aの起こり方が $a$ 通りあり，Bの起こり方が $b$ 通りあれば，AまたはBの起こる場合は，$a+b$ 通りある。

積の法則

事柄Aの起こり方が $a$ 通りあり，そのどの場合に対しても，事柄Bの起こり方が $b$ 通りあれば，Aが起こり，そしてBが起こる場合は $a \times b$ 通りある。

※和の法則・積の法則は事柄が3つ以上でも同様に成り立つ

順列

【定義】

順列：いくつかのものを順に1列に並べるとき，その並びの1つ1つのこと

階乗( $n!$ )：$n$ に1ずつ小さくした数を次々と1になるまでかけたもの

$n!=n(n-1)(n-2)……3 \cdot 2 \cdot 1$

$0!=1$

$\boldsymbol{n}$ 個から $\boldsymbol{r}$ 個取る順列：異なる $n$ 個のものから異なる $r$ 個を取り出して並べる順列

※$\boldsymbol{n}$ 個から $\boldsymbol{r}$ 個取る順列の総数を ${}_n \mathrm{ P }_r$ で表す

${}_n \mathrm{ P }_r=n(n-1)(n-2)……(n-r+1)= \displaystyle \frac{n!}{(n-r)!}$ ( $r \leqq n$ )

${}_n \mathrm{ P }_n=n(n-1)(n-2)……3 \cdot 2 \cdot 1=n!$

${}_n \mathrm{ P }_0=1$