【定義・定理・公式】高校数学基本事項 - 数学A - 空間図形

2直線の位置関係

異なる2直線 $l$，$m$ の位置関係には次の3つの場合がある。

• 1点で交わる。(1つの平面上にある)
• 平行である。(1つの平面上にある)
• ねじれの位置にある。(1つの平面上にない)

2直線 $l$，$m$ が平行であるとき，$l /\!/ m$ と書く。

3直線 $l$，$m$，$n$ について，$l /\!/ m /\!/ n$ $\Rightarrow$ $l /\!/ n$

2直線 $l$，$m$ が平行でないとき，任意の1点 $\mathrm{O}$ を通り，$l$，$m$ に平行な直線を，それぞれ $l'$，$m'$ とすると，$l'$ と $m'$ は1つの平面上にある。このとき，$l'$ と $m'$ のなす2つの角は，点 $\mathrm{O}$ をどこにとっても一定であり，この角を2直線 $l$，$m$ のなす角という。

2直線 $l$，$m$ のなす角が直角のとき，$l$ と $m$ は垂直であるといい，$l \perp m$ と書く。垂直な2直線 $l$ と $m$ が交わるとき，$l$ と $m$ は直交するという。

平行な2直線の一方に垂直な直線は，他方にも垂直である。

直線と平面の位置関係

直線 $l$ と平面 $\alpha$ の位置関係には次の3つの場合がある。

• $l$ は $\alpha$ に含まれる。($l$ は $\alpha$ 上にある)
• 1点で交わる。
• 平行である。

直線 $l$ と平面 $\alpha$ が平行であるとき，$l /\!/ \alpha$ と書く。

直線 $l$ が，平面 $\alpha$ 上のすべての直線に垂直であるとき，$l$ は $\alpha$ に垂直である，または，$l$ は $\alpha$ に直交するといい，$l \perp \alpha$ と書く。このとき，直線 $l$ を平面 $\alpha$ の垂線という。

直線 $l$ が平面 $\alpha$ 上の交わる2直線 $m$，$n$ に垂直ならば，直線 $l$ は平面 $\alpha$ に垂直である。

2平面の位置関係

異なる2平面 $\alpha$，$\beta$ の位置関係には，次の2つの場合がある。

• 交わる。
• 平行である。

2平面が交わるとき，その交わりは直線になり，その直線を交線という。2平面 $\alpha$，$\beta$ が平行であるとき，$\alpha /\!/ \beta$ と書く。2平面が一致する場合も平行であると考える。

交わる2平面の交線上の点から，各平面上で交線に垂直に引いた2直線のなす角を2平面のなす角という。

2平面 $\alpha$，$\beta$ のなす角が直角のとき，$\alpha$ と $\beta$ は垂直である，または，直交するといい，$\alpha \perp \beta$ と書く。

平面 $\alpha$ の垂線を含む平面は平面 $\alpha$ に垂直である。

【定理】

三垂線の定理

平面 $\alpha$ とその上に直線 $l$ があるとき，平面 $\alpha$ 上にない点 $\mathrm{A}$，平面 $\alpha$ 上にあるが直線 $l$ 上にない点 $\mathrm{O}$，直線 $l$ 上に点 $\mathrm{B}$ について

• $\mathrm{OA} \perp \alpha$，$\mathrm{OB} \perp l$ $\Rightarrow$ $\mathrm{AB} \perp l$
• $\mathrm{OA} \perp \alpha$，$\mathrm{AB} \perp l$ $\Rightarrow$ $\mathrm{OB} \perp l$
• $\mathrm{OB} \perp l$，$\mathrm{AB} \perp l$，$\mathrm{OA} \perp \mathrm{OB}$ $\Rightarrow$ $\mathrm{OA} \perp \alpha$

多面体

【定義】

多面体：平面だけで囲まれた立体

凸多面体：へこみのない多面体

正多面体：各面が全て合同な正多角形である，かつ，各頂点に集まる面の数がすべて等しい多面体

※正多面体は正四面体，正六面体(立方体)，正八面体，正十二面体，正二十面体の5種類しかない。

【定理】

オイラーの多面体定理

凸多面体の頂点の数を $v$，辺の数を $e$，面の数を $f$ とすると

$v-e+f=2$

が成り立つ。