【定義・定理・公式】高校数学基本事項 - 数学B - ベクトルの成分

ベクトルの成分

【定義】

平面上の基本ベクトル：$\vec{e_1}=(1,0)$，$\vec{e_2}=(0,1)$

基本ベクトル表示・成分表示

座標平面の原点を $\mathrm{O}$ とし，ベクトル $\vec{a}$ に対して $\vec{a}=\overrightarrow{OA}$ となる点 $\mathrm{A}$ をとり，$\mathrm{A}$ の座標を $(a_1,a_2)$ とするとき

基本ベクトル表示：$\vec{a}=a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}$

成分表示：$\vec{a}=(a_1,a_2)$

$a_1$ を $x$ 成分，$a_2$ を $y$ 成分という。

成分表示の相等・大きさ・演算

相等

$\vec{a}=(a_1,a_2)$，$\vec{b}=(b_1,b_2)$ について

$\vec{a}=\vec{b}$ $\Leftrightarrow$ $a_1=b_1$ かつ $a_2=b_2$

特に $\vec{a}=\vec{0}$ $\Leftrightarrow$ $a_1=a_2=0$

大きさ

$\vec{a}=(a_1,a_2)$ に対して

$|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$

演算

$k$，$l$ を実数とするとき

• $(a_1,a_2)+(b_1,b_2)=(a_1+b_1,a_2+b_2)$
• $(a_1,a_2)-(b_1,b_2)=(a_1-b_1,a_2-b_2)$
• $k(a_1,a_2)=(ka_1,ka_2)$
• $k(a_1,a_2)+l(b_1,b_2)=(ka_1+lb_1,ka_2+lb_2)$

点の座標とベクトルの成分

2点 $\mathrm{A}(a_1,a_2)$，$\mathrm{B}(b_1,b_2)$ について

$\overrightarrow{AB}=(b_1-a_1,b_2-a_2)$

$\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2}$