【定義・定理・公式】高校数学基本事項 - 数学B - 空間の座標，空間のベクトル

空間の点の座標

【定義】

座標軸

空間に点 $\mathrm{O}$ をとり，$\mathrm{O}$ で互いに直交する3本の数直線をそれぞれ $\boldsymbol{x}$ 軸，$\boldsymbol{y}$ 軸，$\boldsymbol{z}$ 軸 といい，まとめて座標軸という。また，点 $\mathrm{O}$ を原点という。

座標平面

$x$ 軸と $y$ 軸で定める平面を $\boldsymbol{xy}$ 平面といい，同様の $\boldsymbol{yz}$ 平面，$\boldsymbol{zx}$ 平面 をまとめて座標平面という。

座標

空間の点 $\mathrm{P}$ に対して，$\mathrm{P}$ を通り各座標軸に垂直な平面が $x$ 軸，$y$ 軸， $z$ 軸と交わる点をそれぞれ点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$ とする。$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$ の各座標軸上での座標がそれぞれ $a$，$b$，$c$ のとき，3つの実数の組 $(a,b,c)$ を点 $\mathrm{P}$ の座標といい，$a$，$b$，$c$ をそれぞれ点 $\mathrm{P}$ の$\boldsymbol{x}$ 座標，$\boldsymbol{y}$ 座標，$\boldsymbol{z}$ 座標という。この点 $\mathrm{P}$ を $\mathrm{P}(a,b,c)$ と書くことがある。

座標空間

座標の定められた空間を座標空間という。

2点間の距離

2点 $\mathrm{A}(a_1,a_2,a_3)$，$\mathrm{B}(b_1,b_2,b_3)$ について，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ 間の距離は

$\mathrm{AB}=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2}$

特に，原点 $\mathrm{O}$ と点 $\mathrm{A}(a_1,a_2,a_3)$ の距離は

$\mathrm{OA}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$

空間ベクトルの演算

$\vec{a}$，$\vec{b}$，実数 $k$，$l$ に対して

• ベクトルの加法：$\vec{a}+\vec{b}$
• ベクトルの減法：$\vec{a}-\vec{b}$
• ベクトルの実数倍：$k \vec{a}$
  ※大きさは $| \vec{a} |$ の $k$ 倍，向きは $k>0$ のときは同じで，$k<0$ のときは反対
  ※ $k=0$ のとき $k \vec{a} =0 \vec{a} = \vec{0}$

【法則】

交換法則

$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$

結合法則

$(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$

【定理】

逆ベクトルと零ベクトルの性質

• $\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}$
• $\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}$

ベクトルの実数倍の性質

• $k(l\vec{a})=(kl)\vec{a}$
• $(k+l)\vec{a}=k\vec{a}+l\vec{a}$
• $k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}$

空間ベクトルの平行条件

$\vec{a}\neq\vec{0}$，$\vec{b}\neq\vec{0}$ のとき

$\vec{a}/\!/\vec{b}$ $\Leftrightarrow$ $\vec{b}=k\vec{a}$ となる実数 $k$ が存在する

空間ベクトルの分解

1次独立な3つのベクトル $\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$ に対して，任意のベクトル $\vec{p}$ は実数 $s$，$t$，$u$ を用いて次の形にただ1通りに表される。

$\vec{p}=s\vec{a}+t\vec{b}+u\vec{c}$

このことから，$s$，$s'$，$t$，$t'$，$u$，$u'$ を実数として次の性質が成り立つ。

$s\vec{a}+t\vec{b}+u\vec{c}=s'\vec{a}+t'\vec{b}+u'\vec{c}$ $\Leftrightarrow$ $s=s'$ かつ $t=t'$ かつ $u=u'$

特に $s\vec{a}+t\vec{b}+u\vec{c}=\vec{0}$ $\Leftrightarrow$ $s=t=u=0$