【定義・定理・公式】高校数学基本事項 - 数学B - 等差数列

数列

【定義】

数列：数を一列に並べたもの

※一般に数列を $a_1,a_2,……,a_n,……$ で表し，$\{a_n\}$ と略記することもある。

項：数列における各数

初項：数列における1番目の項

第 $\boldsymbol{n}$ 項：数列における $n$ 番目の項

有限数列：項の個数が有限である数列

項数：有限数列の項の個数

末項：有限数列の最後の項

無限数列：項の個数が無限である数列

一般項：数列の第 $n$ 項 $a_n$ が $n$ の式で表されたもの

等差数列

等差数列：初項に一定の数 $d$ (公差)を次々と足して得られる数列

等差数列の一般項

初項 $a$，公差 $d$ の等差数列 $\{a_n\}$ の一般項は

$a_n=a+(n-1)d$

等差数列の性質

等差数列 $\{a_n\}$ について，すべての自然数 $n$ で次の関係が成り立つ。

• $a_{n+1}=a_n+d$
• $a_{n+1}-a_n=d$ (一定)

等差中項

3つの項からなる数列 $a$，$b$，$c$ について

数列 $a$，$b$，$c$ が等差数列 $\Leftrightarrow$ $2b=a+c$

であり，このときの $b$ を $a$ と $c$ との等差中項という。

等差中項はその前後の項の相加平均に等しい。

調和数列

数列 $\{a_n\}$ にといて，各項が $0$ と異なり，その逆数を項とする数列 $\{\frac{1}{a_n}\}$ が等差数列をなすとき，もとの数列 $\{a_n\}$ を調和数列という。すなわち

$\displaystyle\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}=d$ (一定)

等差数列の和

初項 $a$，公差 $d$，末項 $l$，項数 $n$ の等差数列の和を $S_n$ とする。

• $S_n=\displaystyle\frac{1}{2}n(a+l)$
• $S_n=\displaystyle\frac{1}{2}n\{2a+(n-1)d\}$