【定義・定理・公式】高校数学基本事項 - 数学B - 等比数列

等比数列

等比数列：初項に一定の数 $r$ (公比)を次々と掛けて得られる数列

等比数列の一般項

初項 $a$，公比 $r$ の等比数列 $\{a_n\}$ の一般項は

$a_n=ar^{n-1}$

等比数列の性質

等比数列 $\{a_n\}$ について，すべての自然数 $n$ で次の関係が成り立つ

• $a_{n+1}=ra_n$
• $a_1\neq0$，$r\neq0$ のとき $\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}=r$ (一定)

等比中項

$a$，$b$，$c$ は $0$ でないとする。3つの項からなる数列 $a$，$b$，$c$ について

数列 $a$，$b$，$c$ が等比数列 $\Leftrightarrow$ $b^2=ac$

であり，このときの $b$ を $a$ と $c$ の等比中項という。

等比中項はその前後の項の相乗平均に等しい。

等比数列の和

初項 $a$，公比 $r$，末項 $l$，項数 $n$ の等比数列の和を $S_n$ とする。

• $r\neq1$ のとき $S_n=\displaystyle\frac{a(1-r^n)}{1-r}=\frac{a(r^n-1}{r-1}=\frac{a-lr}{1-r}=\frac{lr-a}{r-1}$
• $r=1$ のとき $S_n=na$