【定義・定理・公式】高校数学基本事項 - 数学B - 漸化式

漸化式と数列

【定義】

漸化式：数列において，その前の項から次の項をただ1通りに定める規則を示す等式

隣接2項間の漸化式：隣り合う2つの項からなる漸化式

隣接3項間の漸化式：隣り合う3つの項からなる漸化式

特性方程式

【定義】

特性方程式：隣接2項間の漸化式において，$a_{n+1}$，$a_n$ の代わりに $\alpha$ とおいた方程式

※特性方程式の解を用いて漸化式を変形することができる。

種々の漸化式

$p$，$q$ を実数とする。

隣接2項間の漸化式

$a_1=a$，$a_{n+1}=pa_n+q$

$p=1$ のとき

数列 $\{a_n\}$ は等差数列であり $a_n=a+(n-1)q$

$p\neq1$ かつ $q=0$ のとき

数列 $\{a_n\}$ は等比数列であり $a_n=ap^{n-1}$

$p\neq1$ かつ $q\neq0$

①特性方程式 $x=px+q$ の解 $\alpha$ を用いて $a_{n+1}-\alpha=p(a_n-\alpha)$ と変形

②$a_{n+1}=pa_n+q$，$a_{n+2}=pa_{n+1}+q$ より $a_{n+2}-a_{n+1}=p(a_{n+1}-a_n)$ を導く

$a_1=a$，$a_{n+1}=pa_n+f(n)$

$p=1$ のとき

$f(n)$ を階差数列とする数列であり $a_n=a+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}f(k)$ ( $n\geqq2$ )

$p\neq1$，$f(n)$ が $n$ の1次式のとき

①$a_{n+1}=pa_n+q$，$a_{n+2}=pa_{n+1}+q$ より $a_{n+2}-a_{n+1}=p(a_{n+1}-a_n)$ を導く

②$a_{n+1}-g(n+1)=p{a_n-g(n)}$ と変形

特殊な形の漸化式

逆数をとって $\frac{1}{a_n}=b_n$ とおく

$f(n)a_n=b_n$，$\frac{a_n}{f(n)}=b_n$ とおく

対数をとって $\log_ca_n=b_n$ とおく

隣接3項間の漸化式

$pa_{n+2}+qa_{n+1}+ra_n=0$

特性方程式 $px^2+qx+r=0$ の2解 $\alpha$，$\beta$ を用いて2式を導く

• $a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1}-\alpha a_n)$
• $a_{n+2}-\beta a_{n+1}=\alpha(a_{n+1}-\beta a_n)$

$\alpha$，$\beta$ のうち一方が $1$ のとき

$\alpha=1$ とし，$a_{n+1}-a_n=b_n$ とおくと $b_{n+1}=\beta b_n$

$\alpha\neq1$ かつ $\beta\neq1$ かつ $\alpha\neq\beta$ のとき

数列 $\{a_{n+1}-\alpha a_n\}$ の一般項 $c_n$，数列 $\{a_{n+1}-\beta a_n\}$ の一般項 $d_n$ を求める。

$\alpha=\beta$ かつ $\alpha\neq1$ のとき

数列 $\{a_{n+1}-\alpha a_n\}$ の一般項を求め，$f(n)a_n=b_n$，$\frac{a_n}{f(n)}=b_n$ とおく

2つの数列の漸化式

$a_{n+1}=pa_n+qb_n$，$b_{n+1}=ra_n+sb_n$

2式

• $a_{n+1}+\alpha_1b_{n+1}=\beta_1(a_n+\alpha_1b_n)$
• $a_{n+1}+\alpha_2b_{n+1}=\beta_2(a_n+\alpha_2b_n)$

を導く，または，代入によって $\{a_n\}$ または $\{b_n\}$ だけの漸化式を導き，隣接3項間に落とし込む。