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【定義・定理・公式】高校数学基本事項 - 数学B - 確率変数の和と積，二項分布

同時分布

【定義】

同時分布

ある試行によって XX，YY の値が定まるとき，X=aX=a かつ Y=bY=b である確率を P(X=a,Y=b)P(X=a,Y=b) と表す。

ある試行によって XX，YY，ZZ の値が定まるとき，X=aX=a かつ Y=bY=b かつ Z=cZ=c である確率を P(X=a,Y=b,Z=c)P(X=a,Y=b,Z=c) と表す。

2つの確率変数 XX，YY について，XX のとる値が x1,x2,……,xnx_1,x_2,……,x_n，YY のとる値が y1,y2,……,ymy_1,y_2,……,y_m のとき，P(X=xi,Y=yj)=pijP(X=x_i,Y=y_j)=p_ij とおくと，XX，YY の確率分布は下図のように表され，この対応を XX，YY の同時分布という。

y1y2⋯⋯ym計 x1p11p12⋯⋯p1mp1x2p21p22⋯⋯p2mp2⋮⋮⋮⋯⋯⋮⋮⋮⋮⋮⋯⋯⋮⋮xnpn1pn2⋯⋯pnmpn 計q1q2⋯⋯qm1\begin{array}{|c|cccc|c|}\hline&y_1&y_2&\cdots\cdots&y_m&計\\\hline x_1&p_{11}&p_{12}&\cdots\cdots&p_{1m}&p_1\\x_2&p_{21}&p_{22}&\cdots\cdots&p_{2m}&p_2\\\vdots&\vdots&\vdots&\cdots\cdots&\vdots&\vdots\\\vdots&\vdots&\vdots&\cdots\cdots&\vdots&\vdots\\x_n&p_{n1}&p_{n2}&\cdots\cdots&p_{nm}&p_n\\\hline 計&q_1&q_2&\cdots\cdots&q_m&1\\\hline\end{array}

確率変数の独立・従属

【定義】

独立

2つの変数 XX，YY があって，XX のとる値 aa と，YY のとる値 bb に対して，

$P(X=a,Y=b)=P(X=a)P(Y=b)$

が aa，bb のとり方に関係なく常に成り立つとき，確率変数 XX，YY は互いに独立であるという。

※3つ以上の確率変数が互いに独立であることも同様に定義される。

従属

2つの事象 AA，BB が独立でないとき，AA と BB は従属であるという。

※3つ以上の確率変数が従属であることも同様に定義される。

事象の独立・従属

2つの事象 $A$ と $B$ が互いに独立
$\Leftrightarrow$ $P_A(B)=P(B)$
$\Leftrightarrow$ $P_B(A)=P(A)$
$\Leftrightarrow$ $P(A\cap B)=P(A)P(B)$

期待値・分散の性質

【定理】

期待値の性質

※3つ以上の確率変数の和の期待値についても同様の等式が成り立つ。

分散の性質

2つの確率変数 XX，YY が互いに独立であるとき

※互いに独立な3つ以上の確率変数の和の分散についても同様の等式が成り立つ。

二項分布

1回の試行で事象 AA の怒る確率を pp とすると，この試行を nn 回行う反復試行において，AA がちょうど rr 回起こる確率は

${}_n\mathrm{C}_rp^rq^{n-r}$ (ただし $q=1-p$ )

【定義】

二項分布

nn 回の反復試行において，事象 AA の起こる回数を XX とすると，XX は確率変数で，その確率分布を二項分布といい，B(n,p)\boldsymbol{B(n,p)} で表す。また，確率変数 XX は二項分布 B(n,p)B(n,p) に従うという。

【定理】

確率変数 XX が二項分布 B(n,p)B(n,p) に従うときの期待値・分散・標準偏差

確率変数 XX が二項分布 B(n,p)B(n,p) に従うとき，q=1−pq=1-p とすると