Mathrao

【定義・定理・公式】高校数学基本事項 - 数学B - 統計的な推測

母集団と標本

【定義】

全数調査：対象全体からデータを集めて調べる統計的な調査

標本調査：対象全体から一部を抜き出して調べる統計的な調査

母集団：標本調査の対象全体

個体：母集団に属する個々の対象

母集団の大きさ：個体の総数

標本：調査のために母集団から抜き出された個体の集合

標本の大きさ：標本に属する個体の総数

抽出：母集団から標本を抜き出すこと

無作為抽出：母集団の各個体を等しい確率で抽出する方法

※無作為抽出では，乱数さいや乱数表などが使われる。

復元抽出：毎回元に戻しながら個体を1個ずつ抽出すること

非復元抽出：個体をもとに戻さないで抽出すること

無作為標本：無作為抽出によって選ばれた標本

統計的な調査対象の特性：身長，時間，不良品などの特定の性質

変量：ある特性を表す数量

母集団分布：母集団における変量 xx の分布

母平均( mm )：母集団における変量 xx の平均

母標準偏差( σ\sigma )：母集団における変量 xx の標準偏差

※大きさ1の無作為標本について，変量 $x$ の値を確率変数と見たときの期待値，標準偏差は，母平均 $m$，母標準偏差 $\sigma$ と一致する。

標本平均と標本比率

【定義】

標本平均( X‾\overline{X} )

母集団から大きさ nn の無作為標本を抽出し，それらの変量 xx の値を X1,X2,⋯⋯ ,XnX_1,X_2,\cdots\cdots,X_n とするとき

$\overline{X}=\displaystyle\frac{X_1+X_2+\cdots\cdots+X_n}{n}$

標本平均の期待値( E(X‾)E(\overline{X}) )・標準偏差( σ(X‾)\sigma(\overline{X}) )・分布

母平均 mm，母標準偏差 σ\sigma の母集団から大きさ nn の無作為標本を抽出するときの標本平均を X‾\overline{X} とすると

$E(\overline{X})=m$

$\sigma(\overline{X})=\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

また，X‾\overline{X} は nn が大きとき，近似的に正規分布 N(m,σ2n)N(m,\frac{\sigma^2}{n}) に従う。

すなわち，確率変数 Z=X‾−mσnZ=\frac{\overline{X}-m}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} は近似的に標準正規分布 N(0,1)N(0,1) に従う。

母比率：母集団の中である特性をもつものの割合

標本比率：抽出された標本の中である特性を持つものの割合

※ある特性の母比率 $p$ の母集団から抽出された大きさ $n$ の無作為標本について，標本比率 $R$ は $n$ が大きいとき，近似的に正規分布 $N(p,\frac{pq}{n})$ に従うとみなすことができる。

大数の法則

【法則】

母平均 mm の母集団から大きさ nn の無作為標本を抽出するとき，nn が大きくなるに従ってその標本平均 X‾\overline{X} は母平均 mm に近づく。

母平均の推定

正規分布表によると P(∣Z∣≦1.96)=0.95P(|Z|\leqq1.96)=0.95 であるから

$P\left(|\overline{X}-m|\leqq1.96\cdot\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)=0.95$

このことから，標本の大きさ nn が大きいとき，母平均 mm に対する

信頼度95%の信頼区間は $\left[\overline{X}-1.96\cdot\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+1.96\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]$

母平均 mm に対して信頼度95%の信頼区間を求めることを，「母平均 mm を信頼度95%で推定する」ということがある。

母比率の推定

正規分布表によると P(∣Z∣≦1.96)=0.95P(|Z|\leqq1.96)=0.95 であるから

$P\left(|R-p|\leqq1.96\sqrt{\displaystyle\frac{p(1-p)}{n}}\right)=0.95$

このことから，標本の大きさ nn が大きいとき，大数の法則により RR は pp に近いとみなしてよいから，母比率 pp に対する

信頼度95%の信頼区間は $\left[R-1.96\sqrt{\displaystyle\frac{R(1-R)}{n}},R+1.96\sqrt{\displaystyle\frac{R(1-R)}{n}}\right]$