【定理・公式・証明】高校数学定理・公式 - 数学Ⅰ - 絶対値の性質・方程式・不等式

絶対値の性質

$\displaystyle |a| = \left\{ \begin{array}{l} a \ (a \geqq0のとき) \\ -a \ (a \lt0のとき) \end{array} \right.$

【解説】

この絶対値記号 $|\|$ は高校数学でも珍しくいくつかの定義があります。

絶対値の中に実数(数学Ⅰ)，ベクトル(数学B)，複素数(数学Ⅲ)のどれが入るかによってその扱い方が変わるのです。

一応共通した概念として，絶対値は「距離」を表す

ある実数 $a$ の絶対値は，

$a$ が0以上の実数であれば， $a$ ，

$a$ が負の実数であれば， $-a$

であり、この値は，原点を $\mathrm{ O } (0)$ とする数直線上に点 $\mathrm{ A }(a)$ をとったときの，線分 $\mathrm{ OA }$ の長さを表す。よって，絶対値は必ず0以上の実数値を取る。

例えば，図1から分かるように，

$\vert 3 \vert =3$ ， $\vert -2 \vert =2$

である。

また，図2より， $a\geqq0$ のときは，

$\vert a \vert =a(\geqq 0)$

である。

また，図3より， $a\lt0$ のときは， $a$ にマイナスをつけて，

$\vert a \vert =-a(\lt 0)$

である。このように，負の数の絶対値を考えるときは

$\vert -2 \vert =-(-2)=2$

のように，マイナスをつけて絶対値記号をはずしているという認識をもとう。

$a$ を正の実数とするとき，

$\vert x \vert =a \Leftrightarrow x=a,-a$

$\vert x \vert \lt a \Leftrightarrow -a \lt x \lt a$

$\vert x \vert \gt a \Leftrightarrow x \lt -a,a \lt x$

説明

$a$ を正の実数とする。方程式

$\vert x \vert =a$

を解くとは，絶対値が $a$ である実数 $x$ を求めることであり，数直線上で，原点との距離が $a$ である点の座標を求めることである。

右図より，

$\vert x \vert =a \Leftrightarrow x=a,-a$

である。

また，不等式

$\vert x \vert \lt a$

を解くとは，絶対値が $a$ 未満である実数 $x$ の値の範囲を求めることであり，右図から，

$\vert x \vert \lt a \Leftrightarrow -a \lt x \lt a$

である。

また，不等式

$\vert x \vert \gt a$

を解くとは，絶対値が $a$ より大きい実数 $x$ の値の範囲を求めることであり，右図から，

$\vert x \vert \gt a \Leftrightarrow x \lt -a,a \lt x$

である。