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【定理・公式・証明】高校数学定理・公式 – 数学Ⅰ – ヘロンの公式

ヘロンの公式

三角形 $\mathrm{ ABC }$ の面積を $S$ とすると， $\displaystyle s= \frac{a+b+c}{2}$

として，

S=s(s−a)(s−b)(s−c)S= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

証明

三角形 ABC\mathrm{ ABC } に対して，余弦定理を用いると

c2=a2+b2−2abcos⁡C⇔cos⁡C=a2+b2−c22ab\displaystyle c^2=a^2+b^2-2ab \cos C \Leftrightarrow \cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

s=a+b+c2\displaystyle s= \frac{a+b+c}{2} すなわち a+b+c=2sa+b+c=2s とし，三角形 ABC\mathrm{ ABC } の面積を SS とすると，

S=12absin⁡C=12ab1−cos⁡2C=12a2b2−a2b2(a2+b2−c22ab)2\displaystyle S= \frac{1}{2} ab \sin C = \frac{1}{2} ab \sqrt{1- \cos ^2 C} = \frac{1}{2} \sqrt{a^2b^2-a^2b^2 \left( \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \right) ^2}

=144a2b2−(a2+b2−c2)2\displaystyle = \frac{1}{4} \sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}

=14{2ab−(a2+b2−c2)}{2ab+(a2+b2−c2)}\displaystyle =\frac{1}{4} \sqrt{ \left\{ 2ab-(a^2+b^2-c^2) \right\} \left\{2ab+(a^2+b^2-c^2) \right\}}

=14{c2−(a2−2ab+b2)}{(a2+2ab+b2)−c2}\displaystyle =\frac{1}{4} \sqrt{ \left\{ c^2-(a^2-2ab+b^2) \right\} \left\{ (a^2+2ab+b^2)-c^2 \right\}}

=14{c2−(a−b)2}{(a+b)2−c2}\displaystyle =\frac{1}{4} \sqrt{ \left\{ c^2- (a-b)^2 \right\} \left\{ (a+b)^2 -c^2 \right\}}

=14(c+a−b)(c−a+b)(a+b+c)(a+b−c)\displaystyle =\frac{1}{4} \sqrt{(c+a-b)(c-a+b)(a+b+c)(a+b-c)}

=14(a+b+c−2b)(a+b+c−2a)(a+b+c)(a+b+c−2c)\displaystyle =\frac{1}{4} \sqrt{(a+b+c-2b)(a+b+c-2a)(a+b+c)(a+b+c-2c)}

=14(2s−2b)(2s−2a)⋅2s⋅(2s−2c)\displaystyle =\frac{1}{4} \sqrt{(2s-2b)(2s-2a) \cdot 2s \cdot (2s-2c)}

=s(s−a)(s−b)(s−c)= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}