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【定理・公式・証明】高校数学定理・公式 – 数学Ⅰ – 2次方程式の解・重解・解の個数

2次方程式の解(解の公式①)

$ax^2+bx+c=0$ $(a \neq 0)$　の解は，

x=−b±b2−4ac2a\displaystyle x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

証明

ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0

a(x2+bax)+c=0\displaystyle a \left( x^2 + \frac{b}{a}x \right)+c=0

a{(x+b2a)2−b24a2}+c=0\displaystyle a \left \{ \left( x+ \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} \right \} +c=0

a(x+b2a)2−b24a+c=0\displaystyle a \left(x+ \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a} +c=0

a(x+b2a)2−b2−4ac4a=0\displaystyle a \left( x+ \frac{b}{2a} \right) ^2 - \frac{b^2-4ac}{4a}=0

a(x+b2a)2=b2−4ac4a\displaystyle a \left( x+ \frac{b}{2a} \right) ^2 = \frac{b^2 -4ac}{4a}

(x+b2a)2=b2−4ac4a2\displaystyle \left( x+ \frac{b}{2a} \right) ^2 = \frac{b^2 -4ac}{4a^2}

x+b2a=±b2−4ac2a\displaystyle x+ \frac{b}{2a} = \pm \frac{ \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}

x=−b±b2−4ac2a\displaystyle x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}

2次方程式の解(解の公式②)

$ax^2+2Bx+c=0$ $(a \neq 0)$ の解は，

x=−B±B2−aca\displaystyle x= \frac{-B \pm \sqrt{B^2 -ac}}{a}

証明①

ax2+2Bx+c=0ax^2+2Bx+c=0

a{(x+Ba)2−B2a2}+c=0\displaystyle a \left \{ \left(x+ \frac{B}{a} \right)^2 - \frac{B^2}{a^2} \right \} +c=0

a(x+Ba)2−B2−aca=0\displaystyle a \left( x+ \frac{B}{a} \right)^2 - \frac{B^2-ac}{a} =0

(x+Ba)2=B2−aca2\displaystyle \left( x+ \frac{B}{a} \right) ^2= \frac{B^2 -ac}{a^2}

x+Ba=±B2−aca\displaystyle x+ \frac{B}{a} = \pm \frac{ \sqrt {B^2 -ac}}{a}

x=−B±B2−aca\displaystyle x= \frac {-B \pm \sqrt{B^2 -ac}}{a}

証明②

ax2+2Bx+c=0ax^2+2Bx+c=0 の解は，解の公式①を利用して求めることもできる。

x=−2B±(2B)2−4ac2a=−2B±4B2−4ac2a\displaystyle x= \frac{-2B \pm \sqrt{(2B)^2 -4ac}}{2a}= \frac{-2B \pm \sqrt{4B^2-4ac}}{2a}

=−2B±4(B2−ac)2a=−2B±2B2−ac2a\displaystyle =\frac{-2B \pm \sqrt{4(B^2-ac)}}{2a} = \frac{-2B \pm 2 \sqrt{B^2 -ac}}{2a}

=−B±B2−aca\displaystyle = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 -ac}}{a}

2次方程式の解の個数

2次方程式 $ax^2+bx+c=0 (a \neq 0)$ の実数解の個数は， $b^2 -4ac$ の符号により判別することができる。このとき， $b^2 -4ac$ をこの2次方程式の判別式といい， $D$ で表すと，次のことがいえる。

 {     D>0のとき，異なる2つの実数解をもつ   D=0のとき，ただ1つの実数解(重解)をもつ  D<0のとき，実数解をもたない    \left\{    \begin{array}{l}     D \gt 0のとき，異なる2つの実数解をもつ \\      D=0のとき，ただ1つの実数解(重解)をもつ  \\  D \lt 0のとき，実数解をもたない   \end{array}  \right.

2次方程式の重解

2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ が重解をもつとき，その重解は，

x=−b2a\displaystyle x= \frac{-b}{2a}