【定理・公式・証明】高校数学定理・公式 – 数学Ⅰ – 関数の平行移動・対称移動

平行移動(2次関数 $y=a(x-p)^2+q$ のグラフ

放物線 $y=ax^2$ をx軸方向にp ，y軸方向にqだけ平行移動した放物線の方程式は，

$y=a(x-p)^2+q$

説明①　(頂点の動きに注目した説明)

放物線 $y=ax^2$ の頂点は $(0,0)$ 。放物線 $y=a(x-p)^2+q$ の頂点は $(p,q)$ 。放物線の開き具合は，xの2次の係数aによって決まるので，2つのグラフは平行移動すると同じ形となる。

よって，放物線 $y-ax^2$ のグラフをx軸方向にp，y軸方向にqだけ平行移動した放物線の方程式は，

$y=a(x-p)^2+q$

説明②　(軌跡(数学Ⅱ)による説明)

放物線 $y=ax^2$ 上の点 $(x,y)$ をx軸方向にp，y軸方向にqだけ平行移動した点を $(X,Y)$ とすると、

$\left\{ \begin{array}{l} X=x+p \\ Y=y+q \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l} x=X-p \\ y=Y-q \end{array} \right.$

$(x,y)$ は放物線 $y=ax^2$ 上の点より，点 $(X,Y)$ のみたす式は，

$Y-q=a(X-p)^2 \Leftrightarrow Y=a(X-p)^2+q$

よって，放物線 $y=ax^2$ のグラフをx軸方向にp，y軸方向にqだけ平行移動した放物線の方程式は，

$y=a(x-p)^2+q$

x軸に対しての対称移動

放物線 $y=a(x-p)^2 +q$ をx軸に関して対称移動した放物線の方程式は，

$y=-a(x-p)^2-q$

説明① (頂点の動きに注目した説明)

放物線 $y=a(x-p)^2+q$ の頂点は $(p,q)$ 。

この放物線をx軸に関して対称移動した放物線の頂点は $(p,-q)$ であり，このとき， $x^2$ の係数の符号は異符号になる。

よって，放物線 $y=a(x-p)^2+q$ のグラフをx軸に関して対称移動した放物線の方程式は，

$y=-a(x-p)^2-q$

説明② (軌跡(数学Ⅱ)による説明)

放物線 $y=a(x-p)^2-q$ 上の点 $(x,y)$ をx軸に関して対称移動した点を $(X,Y)$ とすると，

$\left\{ \begin{array}{l} X=x \\ Y=-y \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l} x=X \\ y=-Y \end{array} \right.$

$(x,y)$ は，放物線 $y=a(x-p)^2+q$ 上の点より，点 $(X,Y)$ のみたす式は，

$-Y=a(X-p)^2+q \Leftrightarrow Y=-a(X-p)^2-q$ 。

よって，放物線 $y=a(x-p)^2+q$ をx軸に関して対称移動した放物線の方程式は，

$y=-a(x-p)^2-q$

y軸に対しての対称移動

放物線 $y=a(x-p)^2+q$ をy軸に関して対称移動した放物線の方程式は，

$y=a(x+p)^2+q$

説明① (頂点の動きに注目した説明)

放物線 $y=a(x-p)^2+q$ の頂点は $(p,q)$ 。

この放物線をy軸に関して対称移動した放物線の頂点は $(-p,q)$ であり， $x^2$ の係数の符号は同符号になる。

よって，放物線 $y=a(x+p)^2+q$ 。

説明② (軌跡(数学Ⅱ)による説明)

放物線 $y=a(x-p)^2+q$ 上の点 $(x,y)$ をy軸に関して対称移動した点を $(X,Y)$ とすると，

$\left\{ \begin{array}{l} X=-x \\ Y=y \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l} x=-X \\ y=Y \end{array} \right.$

$(x,y)$ は放物線 $y=a(x-p)^2+q$ 上の点より，点 $(X,Y)$ のみたす式は，

$Y=a(-X-p)^2 +q \Leftrightarrow Y=a(x+p)^2+q$

よって，放物線 $y=a(x-p)^2 +q$ のグラフをy軸に関して対称移動した放物線の方程式は，

$y=a(x+p)^2+q$

原点に対しての対称移動

放物線 $y=a(x-p)^2+q$ を原点に関して対称移動した放物線の方程式は，

$y=-a(x+p)^2-q$

説明① (頂点の動きに注目した説明)

放物線 $y=a(x-p)^2+q$ の頂点は $(p,q)$ 。

この放物線を原点に関して対称移動した放物線の頂点は $(-p,-q)$ であり，このとき， $x^2$ の係数の符号は異符号になる。

よって，放物線 $y=a(x-p)^2+q$ を原点に関して対称移動した放物線の方程式は，

$y=-a(x+p)^2-q$

説明② (軌跡(数学Ⅱ)による説明)

放物線 $y=a(x-p)^2+q$ 上の点 $(x,y)$ を原点に関して対称移動した点を $(X,Y)$ とすると，

$\left\{ \begin{array}{l} X=-x \\ Y=-y \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l} x=-X \\ y=-Y \end{array} \right.$

$(x,y)$ は放物線 $y=a(x-p)^2+q$ 上の点より，点 $(X,Y)$ のみたす式は，

$-Y=a(-X-p)^2+q \Leftrightarrow Y=-a(X+p)^2-q$

よって，放物線 $y-a(x-p)^2+q$ を原点に関して対称移動した放物線の方程式は，

$y=-a(a+p)^2-q$

【定理・公式・証明】高校数学定理・公式 – 数学Ⅰ – 関数の平行移動・対称移動

平行移動(2次関数 y=a(x−p)2+qy=a(x-p)^2+qy=a(x−p)2+q のグラフ

x軸に対しての対称移動

y軸に対しての対称移動

原点に対しての対称移動

平行移動(2次関数 $y=a(x-p)^2+q$ のグラフ