【定理・公式・証明】高校数学定理・公式 – 数学Ⅰ – 正弦定理・余弦定理

三角形 $\mathrm{ ABC }$ の外接円の半径を $R$ とおき、点 $\mathrm{ B }$ を一端とする直径を $\mathrm{ BD }$ とする。

( i ) $A \lt 90^{ \circ }$ のとき (図1)，

円周角の定理から，

$\angle \mathrm{ BDC } = \angle \mathrm{ BAC }$ ， $\angle \mathrm{ BCD } =90^{ \circ }$

よって，

$a=2R \sin A$

( ii ) $A=90^ { \circ }$ のとき (図2)，

$a=2R=2R \sin 90^ { \circ }$

$=2R \sin A$

( iii ) $A \gt 90^ { \circ }$ のとき (図3)，

$\angle \mathrm{ BCD } =90^ { \circ }$

また，四角形 $\mathrm{ ABDC }$ は円に内接するので，向かい合う角の和は $180^ { \circ }$ であるから， $\angle \mathrm{ BDC } =180^ { \circ } -A$

よって，

$a=2R \sin (180^ { \circ } -A)$

$=2R \sin A$

同様に， $b=2R \sin B$ ， $c=2R \sin C$ も成り立つので，

$\displaystyle \frac{a}{ \sin A } = \frac{b}{ \sin B} = \frac{c}{ \sin C} =2R$

右図のように，座標平面上に

$\mathrm{ A } (0,0)$ ， $\mathrm{ B } (c,0)$ ， $\mathrm{ C } (b \cos A,b \sin A)$

をとる。線分 $\mathrm{ BC }$ の長さについて

$\mathrm{ BC^2 } =(c-b \cos A)^2 +(b \sin A)^2$

$=c^2 -2bc \cos A + b^2 \cos ^2 A +b^2 \sin ^2 A$

$=c^2 -2bc \cos A + b^2 ( \cos ^2 A + \sin ^2 A )$

$=c^2 -2bc \cos A +b^2$

$\mathrm{ BC } =a$ なので，

$a^2 =b^2 +c^2 -2bc \cos A$

同様にして，  $\left\{    \begin{array}{l}     b^2 =c^2 +a^2 -2ca \cos B \\     c^2 =a^2 +b^2 -2ab \cos C    \end{array}  \right.$

も成り立つ。