【定理・公式・証明】高校数学定理・公式 – 数学Ⅰ – 三角形の成立条件・辺と角の大小関係

$\mathrm{ A }$ ， $\mathrm{ B }$ は三角形 $\mathrm{ ABC }$ の内角であり， $0^{ \circ } \lt B \lt A \lt 180^{ \circ }$ とすると，

$A \gt B \Leftrightarrow \cos A \lt \cos B$　…①

次に三角形 $\mathrm{ ABC }$ について，余弦定理を用いて次の式を得る。

$\cos A \lt \cos B \Leftrightarrow \cos B - \cos A \gt 0$

$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{c^2 +a^2 -b^2}{2ca} - \frac{b^2 +c^2 -a^2}{2bc} \gt 0$

$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{b( c^2 +a^2 -b^2) -a(b^2 +c^2 -a^2)}{2abc} \gt 0$

$\Leftrightarrow (a^2 -b^2)(a+b)-(a-b)c^2 \gt 0$ ( $2abc \gt 0$ より)

$\Leftrightarrow (a-b)(a+b)(a+b)-(a-b)c^2 \gt 0$

$\Leftrightarrow (a-b) \left\{ (a+b)^2 -c^2 \right\} \gt 0$

$\Leftrightarrow a \gt b$  ( $a+b \gt c$ より $(a+b)^2 -c^2 \gt 0$ )  …②

①，②より，

$A \gt B \Leftrightarrow a \gt b$