【定理・公式・証明】高校数学定理・公式 – 数学Ⅰ – 三角形の面積

点 $\mathrm{ B }$ から直線 $\mathrm{ AC }$に下ろした垂線の足を $H$ とし， $\mathrm{ BC } =h$ とする。

三角形 $\mathrm{ ABC }$ の面積を $S$ とすると，

$\displaystyle S= \frac{1}{2} \times (底辺) \times (高さ)$

$\displaystyle = \frac{1}{2} \times b \times h$

また， $0^{ \circ } \lt \theta \leqq 90^{ \circ }$ のとき〈図１〉

$\displaystyle \sin \theta = \frac{h}{a} \Leftrightarrow h=a \sin \theta$

$90^{ \circ } \lt \theta \lt 180^{ \circ }$ のとき〈図２〉，

$\sin (180^{ \circ } - \theta )= \sin \theta$ なので，

$\displaystyle \sin (180^{ \circ } - \theta )= \frac{h}{a} \Leftrightarrow h=a \sin \theta$

よって，

$\displaystyle S- \frac{1}{2} b \cdot h$

$\displaystyle = \frac{1}{2} b \cdot a \sin \theta$

$\displaystyle = \frac{1}{2} ab \sin \theta$