【定理・公式・証明】高校数学定理・公式 – 数学Ⅰ – 三角形の内接円の半径

三角形 $\mathrm{ ABC }$ の内心を $\mathrm{ I }$ で表す。このとき，三角形 $\mathrm{ ABC }$ の面積を $triangle \mathrm{ IAB }$ ， $\triangle \mathrm{ IBC }$ ， $\triangle \mathrm{ ICA }$ の3つに分割すると，

$\triangle \mathrm{ ABC } = \triangle \mathrm{ IAB } + \triangle \mathrm{ IBC } + \triangle \mathrm{ ICA }$ …①

このとき，

$\left\{    \begin{array}{l}     \displaystyle \triangle \mathrm{ IAB } = \frac{1}{2} cr \\   \displaystyle \triangle \mathrm{ IBC } = \frac{1}{2} ar  \\ \displaystyle \triangle \mathrm{ ICA } = \frac{1}{2} br   \end{array}  \right.$

と表される。三角形 $\mathrm{ ABC }$ の面積を $S$ とすると，①より，

$S= \triangle \mathrm{ IAB } + \triangle \mathrm{ IBC } + \triangle \mathrm{ ICA }$

$\displaystyle = \frac{1}{2} cr+ \frac{1}{2} ar+ \frac{1}{2} br$

$\displaystyle = \frac{r}{2} (a+b+c)$