【定理・公式・証明】高校数学定理・公式 – 数学Ⅰ – トレミーの定理

$\mathrm{ AB } =a$ ， $\mathrm{ BC } =b$ ， $\mathrm{ CD }=c$ ， $\mathrm{ DA } =d$ ，$\mathrm{ AC }=x$ ， $\mathrm{ BD } =y$ とおく。

三角形 $\mathrm{ ABC }$ ， 三角形 $\mathrm{ ACD }$ に余弦定理を用いると，

$x^2=a^2+b^2-2ab \cos B$   …①

$x^2=c^2+d^2-2cd \cos D$   …②

ここで， $D=180^{ \circ } -B$ より，②は次式のようになる。

$x^2=c^2+d^2-2cd \cos (180^{ \circ } -B)$

$=c^2+d^2-2cd(- \cos B)$

$=c^2+d^2+2cd \cos B$   …②’

$① \times cd+ ②' \times ab$ を計算し， $\cos B$ を消去すると，

$(cd+ab)x^2=cd(a^2+b^2)+ab(c^2+d^2)=a^2cd+b^2cd+abc^2+abd^2$

$=ad(ac+bd)+bc(ac+bd)$

$=(ac+bd)(ad+bc)$   …(*)

同様に三角形 $\mathrm{ ABD }$ ，三角形 $\mathrm{ BCD }$ にも余弦定理を用いると，

$(bc+da)y^2=(ab+cd)(ac+bd)$   …(**)

(*)と(**)の左辺同士，右辺同士の積をとると，

$(cd+ab)(bc+da)x^2y^2=(ac+bd)^2(ad+bc)(ab+cd)$

$x^2y^2=(ac+bd)^2$

$xy=ac+bd$

となるので，

$\mathrm{ AC } \cdot \mathrm{ BD } = \mathrm{ AB } \cdot \mathrm{ CD } + \mathrm{ AD } \cdot \mathrm{ BC }$