【定理・公式・証明】高校数学定理・公式 – 数学Ⅰ – ド・モルガンの法則

ド・モルガンの法則

[Ⅰ] $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$

[Ⅱ] $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$

説明

ド・モルガンの法則をベン図を用いて示す。

[Ⅰ] $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ について，

$A \cup B$ の補集合は， $\overline{A \cup B}$ 。　…①

$\overline{A}$ , $\overline{B}$ だから， $\overline{A} \cap \overline{B}$ 。 …②

よって，①と②の集合は一致するので，

$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ 。

[Ⅱ] $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ について，

$A \cap B$ の補集合は， $\overline{A \cap B}$ 。　…③

$\overline{A}$ , $\overline{B}$ だから $\overline{A} \cup \overline{B}$ 。　…④

よって，③と④の集合は一致するので，

$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ 。