【定理・公式・証明】高校数学定理・公式 – 数学Ⅰ – 包除原理

包除原理

[Ⅰ] $n(A \cup B) = n(A)+n(B)-n(A \cap B)$

[Ⅱ] $n(A \cup B \cup C) = n(A)+n(B)+n(C)-n(A \cap B)-n(B \cap A)-n(C \cap A)+n(A \cap B \cap C)$

説明

$n(X)$ は集合 $X$ の要素の個数を表す。

[Ⅰ] $n(A \cup B) = n(A)+n(B)-n(A \cap B)$

[Ⅱ] [Ⅰ]の式を利用して，

$n(A \cup B \cup C)$

$=n((A \cup B) \cup C)$

$=n(A \cup B) +n(C)-n((A \cup B) \cap C)$

$= \{ n(A)+n(B)-n(A \cap B) \} +n(C)-n((A \cap C) \cup (B \cap C))$

$=n(A)+n(B)-n(A \cap B)+n(C)- \{ n(A \cap C)+n(B \cap C) -n \{ (A \cap C) \cap (B \cap C) \}$

$=n(A)+n(B)+n(C)-n(A \cap B)=n(B \cap C)-n(C \cap A)+n(A \cap B \cap C)$