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【定理・公式・証明】高校数学定理・公式 – 数学Ⅰ – 平均値・仮平均法

平均値

$n$ 個の値からなるデータ $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，・・・， $x_{n}$ の平均値を $\overline{x}$ とすると，

x‾=x1+x2+・・・+xnn\displaystyle \overline{x} = \frac{x_{1} + x_{2}+ ・・・ + x_{n}}{n}

仮平均法

$n$ 個の値からなるデータ $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，・・・ ， $x_{n}$ の平均値を $m$ と仮定する（仮定した値を仮平均という）。このとき，平均値 $\overline{x}$ は，仮平均 $m$ を用いて，次のように表せる。

x‾=m+(x1−m)+(x2−m)+(x3−m)+・・・+(xn−m)n\displaystyle \overline{x} =m+ \frac{(x_{1} -m)+(x_{2} -m)+(x_{3} -m)+ ・・・ +(x_{n} -m)}{n}

証明

nn 個の値からなるデータ x1x_{1} ， x2x_{2} ，・・・， xnx_{n} の平均値を x‾\overline{x} ，仮平均を mm とすると， nn 個の値との差は，

x1−mx_{1} -m ， x2−mx_{2} -m ， x3−mx_{3} -m ，・・・， xn−mx_{n} -m

となり，平均値 x‾\overline{x} は，

m+(x1−m)+(x2−m)+(x3−m)+・・・+(xn−m)n\displaystyle m+\frac{(x_{1} -m)+(x_{2} -m)+(x_{3} -m)+・・・+(x_{n} -m)}{n}

=m+x1+x2+・・・+xn−nmn\displaystyle =m+ \frac{x_{1} +x_{2} +・・・+x_{n} -nm}{n}

=x1+x2+・・・+xnn\displaystyle = \frac{x_{1} + x_{2} +・・・+x_{n}}{n}

=x‾= \overline{x}