Mathrao

【定理・公式・証明】高校数学定理・公式 – 数学Ⅰ – 分散・標準偏差・共分散・相関係数

分散①と標準偏差

$n$ 個の値からなるデータ $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，・・・，$x_{n}$ の平均値を $\overline{x}$ とする。このデータの分散を $s_{x}^2$ ，標準偏差を $s_{x}$ とすると，

sx2=(x1−x‾)2+・・・+(xn−x‾)2n\displaystyle s_{x}^2 =\frac{(x_{1} - \overline{x} )^2 +・・・+(x_{n} - \overline{x})^2}{n} ， sx=sx2s_{x}= \sqrt{s_{x}^2}

共分散①と相関係数

２つの変数 $x$ ， $y$ からなるデータとして， $n$ 個の値の組( $x_{1}$ ,$y_{1}$ )，( $x_{2}$ , $y_{2}$ )，・・・，( $x_{n}$ , $y_{n}$ )がある。$x$ の偏差と $y$ の偏差の積の平均を共分散といい， $s_{xy}$ で表すと，

sxy=1n{(x1−x‾)(y1−y‾)+・・・+(xn−x‾)(yn−y‾)}\displaystyle s_{xy}= \frac{1}{n} \{(x_{1} - \overline{x} )(y_{1} - \overline{y} )+ ・・・ +(x_{n} - \overline{x} )(y_{n} - \overline{y} ) \}

また，共分散 sxys_{xy} を xx の標準偏差 sxs_{x} と yy の標準偏差 sys_{y} の積 sxsys_{x} s_{y} で割った値を xx ， yy の相関係数といい， rrで表すと，

r=sxysx⋅sy\displaystyle r=\frac{s_{xy}}{s_{x} \cdot s_{y}}

【発展】分散②

$n$ 個の値からなるデータ $x_{1} , x_{2} , ・・・ , x_{n}$ の平均値を $\overline{x}$ 分散を $s_{x}^2$ とし，$n$ 個の値の2乗の平均を $\overline{x^2}$ とするとき，

sx2=x2‾−(x‾)2s_{x}^2 = \overline{x^2} -( \overline{x} )^2

証明

分散①の式を変形すると，

sx2=1n{(x1−x‾)2+(x2−x‾)2+・・・+(xn−x‾)2}\displaystyle s_{x}^2 = \frac{1}{n} \{ (x_{1} - \overline{x} )^2 +( x_{2} - \overline{x} )^2 +・・・+ (x_{n} - \overline{x} )^2 \}

=1n{(x12+x22+・・・+xn2)−2x‾(x1+x2+・・・+xn)+n(x‾)2}\displaystyle = \frac{1}{n} \{ (x_{1}^2 +x_{2}^2 +・・・+ x_{n}^2 )-2 \overline{x} (x_{1} + x_{2} +・・・+ x_{n}) +n( \overline{x} )^2 \}

=1n(x12+x22+・・・+xn2)−2x‾1n(x1+x2+・・・+xn)+(x‾)2\displaystyle = \frac{1}{n} ( x_{1}^2 + x_{2}^2 +・・・+ x_{n}^2 ) -2 \overline{x} \frac{1}{n} (x_{1} + x_{2} +・・・+ x_{n} ) +( \overline{x} )^2

=x2‾−2x‾⋅x‾+(x‾)2= \overline{x^2} -2 \overline{x} \cdot \overline{x} + ( \overline{x} )^2

=x2‾−2(x‾)2+(x‾)2= \overline{x^2} -2( \overline{x} )^2 +( \overline{x} )^2

=x2‾−(x‾)2= \overline{x^2} -( \overline{x} )^2

このように，

(xの分散)=(x2の平均値)−(xの平均値)2( x の分散)=(x^2 の平均値)-(x の平均値)^2

となり， xx の分散は x2x^2 の平均値と xx の平均値の2乗の差から求めることもできる。

【発展】共分散②

2つの変量 $x$ , $y$ からなるデータとして， $n$ 個の値の組 $(x_{1} , y_{1} ) , (x_{2} , y_{2} ) ,・・・, (x_{n} , y_{n} )$ がある。 $x$ , $y$ の平均値を $\overline{x}$ ， $\overline{y}$ とすると，共分散 $s_{xy}$ は，

sxy=1n(x1y1+x2y2+・・・+xnyn)−x‾⋅y‾\displaystyle s_{xy} = \frac{1}{n} (x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} +・・・+ x_{n} y_{n}) - \overline{x} \cdot \overline{y}

と表せる。

証明

xx ， yy の平均値を x‾\overline{x} ， y‾\overline{y} とすると，

x‾=x1+x2+・・・+xnn\displaystyle \overline{x} = \frac{x_{1} + x_{2}+・・・+ x_{n}}{n} ， y‾=y1+y2+・・・+ynn\displaystyle \overline{y} = \frac{y_{1} + y_{2} +・・・+ y_{n}}{n}

共分散の定義より，

sxy=(x1−x‾)(y1−y‾)+(x2−x‾)(y2−y‾)+・・・+(xn−x‾)(yn−y‾n)\displaystyle s_{xy} = \frac{(x_{1} - \overline{x} )(y_{1} - \overline{y}) + (x_{2} - \overline{x})(y_{2} - \overline{y})+・・・+ (x_{n} - \overline{x})(y_{n} - \overline{y}}{n})

ここで， i=1,2,・・・,ni=1,2,・・・,n に対して，

(xi−x‾)(yi−y‾)=xiyi−xiy‾−x‾yi+x‾y‾(x_{i} - \overline{x})(y_{i} - \overline{y}) =x_{i} y_{i} - x_{i} \overline{y} - \overline{x} y_{i} + \overline{x} \overline{y}

と変形できるので，

sxy=(x1y1−x1y‾−x‾y1+x‾⋅y‾)+(x2y2−x2y‾−x‾y2+x‾⋅y‾)+・・・+(xnyn−xny‾−x‾yn+x‾⋅y‾)n\displaystyle s_{xy}= \frac{(x_{1} y_{1} -x_{1} \overline{y} - \overline{x} y_{1} + \overline{x} \cdot \overline{y} )+ (x_{2} y_{2} -x_{2} \overline{y} - \overline{x} y_{2} + \overline{x} \cdot \overline{y})+・・・+(x_{n} y_{n} -x_{n} \overline{y} - \overline{x} y_{n} + \overline{x} \cdot \overline{y})}{n}

=(x1y1+x2y2+・・・+xnyn)−(x1+x2+・・・+xn)y‾−(y1+y2+・・・+xn)−x‾(y1+y2+・・・+yn)+nx‾⋅y‾n\displaystyle = \frac{(x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} +・・・+x_{n} y_{n}) - (x_{1} + x_{2} +・・・+ x_{n}) \overline{y} - (y_{1} + y_{2} +・・・+ x_{n}) - \overline{x} (y_{1} + y_{2} +・・・+ y_{n}) +n \overline{x} \cdot \overline{y}}{n}

=x1y1+x2y2+・・・+xnynn−x1+x2+・・・+xnny‾−x‾y1+y2+・・・+ynn+x‾⋅y‾\displaystyle = \frac{x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} +・・・+ x_{n} y_{n}}{n} - \frac{x_{1} + x_{2} +・・・+ x_{n}}{n} \overline{y} - \overline{x} \frac{y_{1} + y_{2} +・・・+ y_{n}}{n} + \overline{x} \cdot \overline{y}

=x1y1+x2y2+・・・+xnynn−x‾⋅y‾−x‾⋅y‾+x‾⋅y‾\displaystyle = \frac{x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} +・・・+ x_{n} y_{n}}{n} - \overline{x} \cdot \overline{y} - \overline{x} \cdot \overline{y} + \overline{x} \cdot \overline{y}

=1n(x1y1+x2y2+・・・+xnyn)−x‾⋅y‾\displaystyle =\frac{1}{n} (x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} +・・・+ x_{n} y_{n}) - \overline{x} \cdot \overline{y}