【定理・公式・証明】高校数学定理・公式 – 数学A – 確率の定義

確率の定義

ある試行において，全事象 $U$ に属する根元事象１つ１つが同様に確からしいとき，全事象 $U$ に属する根元事象が $n(U)$ 通り，事象 $A$ に属する根元事象が $n(A)$ 通りあるとすると， $A$ の起こる確率 $P(A)$ は

$\displaystyle P(A) = \frac{n(A)}{n(U)}$

説明

ある試行において，起こり得るすべての場合の数が $a$ 通りあるとする。この $a$ 通りのうちの１通りからなる事象を根元事象といい，１つ１つの根元事象の起こりやすさが同程度であるとき，これらの根元事象は同様に確からしいという。確立を考える際は，同様に確からしい状態で計算しないと，正しく求めることができない。なお，本書では以後，「事象 $A$ に属する根元事象の個数」を「事象 $A$ の要素の個数」と表現する。

例題

似た目の区別がつかない赤球2個と，白球1個が入った袋から球を1個取り出すとき，赤球を取り出す確率を求めよ。

赤球を取り出す事象を $A$ とする。左図では2つの赤球を区別していないため，取り出し方の総数は2通りであり、このうち赤球を取り出す場合は1通りであるが，

$\displaystyle P(A)= \frac{1}{2}$

としてしまってよいだろうか。これでは赤球を取り出す確率も，白球を取り出す確率も $\displaystyle \frac{1}{2}$ となってしまい，赤球の方が数が多いにも関わらず，赤球と白球の取り出しやすさが同程度となってしまう。

このような誤りが起きた原因は，赤球を取り出す事象と，白球を取り出す事象が同様に確からしくない（＝起こりやすさが同程度でない）からである。同様に確からしくない状態のまま計算してしまうと，正しく確立を求めることはできない。

一方右図では，3個の球に番号をふり，球を区別している。このとき，取り出し方の総数は3通りとなり，これらは同様に確からしい（＝起こりやすさが同程度である）。このうち赤球の取り出し方は2通りであるから，

$\displaystyle P(A) = \frac{2}{3}$

となる。このとき白球を取り出す確率は $\displaystyle \frac{1}{3}$ であり，

$(赤球を取り出す確率):(白球を取り出す確率)＝2:1$

となっていることから，正しく確立を求められていることが分かる。

確立を計算する際には，1つ1つの根元事象が同様に確からしくなるようにすることが重要であり，見た目が同じようなものでも，区別して計算するとよいケースが多い。