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【定理・公式・証明】高校数学定理・公式 – 数学A – 事象の独立・独立な試行・反復試行の確率

独立な試行

独立な試行 $S,T$ において試行 $S$ において事象 $A$ が起こり，なおかつ試行 $T$ において事象 $B$ が起こる確率は，

P(A)×P(B)P(A) \times P(B)

証明

2つの試行 S,TS,T において， AA の思考が TT の結果には影響せず，また TT の試行も SS の結果に影響を与えないとき， SS と TT は独立な試行であるという。

例えば，

S:硬貨を一枚投げるS:硬貨を一枚投げる T:サイコロを1回ふるT:サイコロを1回ふる

とすると， SS と TT は独立である。

試行 S,TS,T における全事象をそれぞれ U,VU,V とすると，

P(A)=n(A)n(U),P(B)=n(B)n(V)\displaystyle P(A) = \frac{n(A)}{n(U)},P(B)= \frac{n(B)}{n(V)}

一方，試行 S,TS,T を行うとき，起こりうるすべての場合の数は，

n(U)×n(V)n(U) \times n(V) (通り)

であり，これは同様に確からしい。

このうち SS において事象 AA が起こり，なおかつ TT において事象 BB が起こるのは，

n(A)×n(B)n(A) \times n(B) (通り)

であるから， SS において事象 AA が起こり、なおかつ  TT において事象 BB が起こる確率は，

n(A)×n(B)n(U)×n(V)\displaystyle \frac{n(A) \times n(B)}{n(U) \times n(V)}

であり，

n(A)×n(B)n(U)×n(V)=n(A)n(U)×n(B)n(V)=P(A)×P(B)\displaystyle \frac{n(A) \times n(B)}{n(U) \times n(V)} = \frac{n(A)}{n(U)} \times \frac{n(B)}{n(V)} = P(A) \times P(B)

であるから， SS において事象 AA が起こり，なおかつ TT において事象 BB が起こる確率は

P(A)×P(B)P(A) \times P(B)

反復試行の確率

事象 $A$ の起こる確率が $p$ である試行を $n$ 回繰り返すとき，事象 $A$ がちょうど $r$ 回( $r=0,1,2, \cdots ,n$ )起こる確率は，

nCrpr(1−p)n−r_{n} C_{r} p^r (1-p)^{n-r} (ただし， p0=(1−p)0=1p^0= (1-p)^0 =1 )

事象の独立

ある一つの試行 $S$ における事象 $A,B$ において， $A$ と $B$ が独立であるとは，

P(A∩B)=P(A)P(B)P(A \cap B) = P(A)P(B)

が成り立つことである。