【定理・公式・証明】高校数学定理・公式 – 数学A – 余事象の確率

事象 $A$ が起こらないという事象を， $A$ の余事象といい， $\overline{A}$ と表す。 $\overline{A}$ の要素の個数について，

$n( \overline{A} ) =n(U)-n(A)$

が成り立ち，この式において，両辺を全事象の要素の個数 $n(U)$ で割ると，

$\displaystyle \frac{n( \overline{A} )}{n(U)} = \frac{n(U)}{n(U)} - \frac{n(A)}{n(U)}$

であるから，

$P( \overline{A} ) =1-P(A)$

事象 $A$ と $\overline{A}$ の和事象 $A \cup \overline{A}$ の確立を考えて，

$P(A \cup \overline{A}) = P(A) + P( \overline{A} ) -P(A \cap \overline{A})$

$A \cup \overline{A} =U,A \cap \overline{A} = \varnothing$ より，

$P(A \cup \overline{A} =P(U)=1$ ， $P(A \cap \overline{A} )=0$

であるから，

$1=P(A) +P( \overline{A} )-0$

$P( \overline{A} )=1-P(A)$