【定理・公式・証明】高校数学定理・公式 – 数学A – 有限小数・既約分数を小数で表す

有限小数

$m$ は整数， $n$ は $m$ と互いに素な正の整数とするとき，

既約分数 $\displaystyle \frac{m}{n}$ が有限小数 $\Longleftrightarrow$ $n$ の持つ素因数は $2,5$ のみ

説明

有限小数とは，小数点以下の桁数が有限の少数のことであり，

$\displaystyle 0.23= \frac{23}{100}$ ， $\displaystyle 0.1234= \frac{1234}{10000}$

のように，自然数 $k$ を用いて， $\displaystyle \frac{(整数)}{10^k}$ と表すことのできる数である。

$\displaystyle \frac{1}{2} = \frac{5}{10} =0.5$ ， $\displaystyle \frac{31}{50} = \frac{31}{2 \cdot 5^2} = \frac{62}{10^2} =0.62$

のように，分母の素因数が $2,5$ のみであるような分数は，分母，分子それぞれに適当に $2,5$ をかけることにより必ず $\displaystyle \frac{(整数)}{10^k}$ と表せるから，有限小数で表される。

逆に，既約分数 $\displaystyle \frac{m}{n}$ が有限小数で表されるとき，整数 $l$ を用いて，

$\displaystyle \frac{m}{n} = \frac{l}{10^k}$

と表せる。

これより，

$nl=10^k m$

であり， $n$ と $m$ は互いに素であるから， $10^k$ は $n$ の倍数である。よって，

$n$ のもつ素因数は $2,5$ のみ

である。

既約分数を小数で表す

$m$ は整数， $n$ は $m$ と互いに素な正の整数とする。このとき，既約分数 $\displaystyle \frac{m}{n}$ は必ず有限小数または循環小数で表すことができる。

説明

小数点以下の桁数が有限でない小数を無限小数といい，そのうち，いくつかの数字の配列が繰り返されるものを循環小数という。例えば循環小数 $0.181818 \cdots$ は $0. \dot{1} \dot{8}$ と表す。一方，数字の配列に周期性がない無限小数を非循環小数という。

既約分数 $\displaystyle \frac{m}{n}$ において，有限小数で説明したとおり， $n$ の素因数が $2,5$ のみであるとき， $\displaystyle \frac{m}{n}$ は有限小数で表される。

$n$ が $2,5$ 以外の素因数をもつとき， $\displaystyle \frac{m}{n}$ は無限小数，特に循環小数で表される。これについて説明する。

$(自然数) \div (自然数)$ の計算において，途中で割り切れないときは，いずれ必ず

$(割る数) \gt (割られる数)$

となる，そしてこれ以降は0を繰り返し補って割り算を続け，同じ余りが再度現れたら，そこからは同じ計算の繰り返しとなる。

例えば， $\displaystyle \frac{31}{27}$ について考察する。 $31 \div 27$ は〈図1〉のような計算であり，4が再度現れたところから同じ計算の繰り返しとなる。これより商の部分も $148$ が繰り返され、 $\displaystyle \frac{31}{27}$ は $1. \dot{1} \dot{4} \dot{8}$ という循環小数で表される。

27で割り切れない数は，27で割った余りが

$1,2,3, \cdots 26$

のいずれかであるから，27と互いに素な正の整数 $m$ について， $\displaystyle \frac{m}{27}$ が無限小数で表されるとき， $m \div 27$ の筆算において，0を補いだしてから 27回以内に必ず同じ余りが再度現れる。ゆえに， $\displaystyle {m}{27}$ は循環小数で表される。

また， $m \lt 0$ であれば， $-m \gt 0$ より， $-m \div 27$ の筆算を行うことで同様に $\displaystyle \frac{m}{27} = - \frac{-m}{27}$ は循環小数で表される。

同様にして， $m$ が $n$ で割り切れないとき， $m$ を $n$ で割った余りは $1,2, \cdots , n-1$ のいずれかであるから， $m \div n$ の筆算において，0を補いだしてから $n$ 回以内に必ず同じ余りが再度現れる。それ以降は〈図1〉のように同じ計算の繰り返しとなるから， $\displaystyle \frac{m}{n}$ は循環小数で表されることが分かる。