【定理・公式・証明】高校数学定理・公式 – 数学A – 正の約数の個数・総和

正の約数の個数

$p,q,r, \cdots$ を素数， $a,b,c, \cdots$ を正の整数とする。自然数 $n$ が $n=p^a q^b r^c \cdots$ と素因数分解されるとき， $n$ の正の約数の個数は

$(a+1) (b+1) (c+1) \cdots$ (個)$

である。

説明

0でない実数 $t$ について， $t^0 =1$ と表す。

例えば，360の正の約数の個数を求めてみよう。 $360=2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1$ であり，360の正の約数である $1,40,60$ はそれぞれ，

$1=2^0 \cdot 3^0 \cdot 5^0$ ， $40=2^3 \cdot 3^0 \cdot 5^1$ ， $60=2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1$

のように表すことができる。

このように，360のすべての正の約数は，

$2^x \cdot 3^y \cdot 5^z$ $(x=0,1,2,3;y=0,1,2;z=0,1)$

と表すことができ，

$x$ の値が $(3+1)$ 通り， $y$ の値が $(2+1)$ 通り， $z$ の値が $(1+1)$ 通り

であるから，360の正の約数の個数は，

$(3+1)(2+1)(1+1)=24$ (個)

である。

このように， $n$ が $n=p^a q^b r^c \cdots$ と素因数分解できるとき， $n$ の正の約数は，

$p^x \cdot q^y \cdot r^z \cdot \cdots$ $(x=0,1,2, \cdots ,a;y=0,1,2, \cdots ,b;z=0,1,2, \cdots ,c; \cdots)$

と表すことができ， $n$ の正の約数の個数は

$(a+1)(b+1)(c+1) \cdots$ (個)

である。

$p,q,r \cdots$ を素数， $a,b,c, \cdots$ を正の整数とする。 $n=p^a q^b r^c \cdots$ のとき， $n$ の約数の総和は

$(1+p+ \cdots + p^a )(1+q+ \cdots + q^b )(1+r+ \cdots + r^c ) \cdots$

である。

説明

例えば，60の正の約数の総和を求める。 $60=2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1$ より，60の正の約数は，

$2^x \cdot 3^y \cdot 5^z$ $(x=0,1,2;y=0,1;z=0,1)$

と表せる。

$z=0$ のとき

$z=1$ のとき

$①+②$ より，60の正の約数の総和は，

$(2^0 +2^1 +2^2 )(3^0 +3^1)5^0 +(2^0 +2^1 +2^2)(3^0 +3^1 )5^1 =(2^0 +2^1 +2^2 )(3^0 +3^1 )(5^0 +5^1 )$

このように，正の整数 $n$ が $n=p^a q^b r^c \cdots$ と素因数分解できるとき， $n$ の正の約数の総和は，

$(1+p+ \cdots +p^a )(1+q+ \cdots q^b )(1+r+ \cdots + r^c) \cdots$

である。