【定理・公式・証明】高校数学定理・公式 – 数学A – 連続する整数の積

[Ⅰ] $n$ が偶数のとき， $I=n(n+1)$ は2の倍数である。

$n$ が奇数のとき， $(n+1)$ は偶数であるから， $I=n(n+1)$ は2の倍数である。

したがって，すべての整数 $n$ において， $I=n(n+1)$ は2の倍数である。

[Ⅱ] $J=n(n+1)(n+2)=(n+2)I$ であり，[Ⅰ] から$J$ は2の倍数である。

次に， $J$ が3の倍数であることを示す。すべての整数 $n$ は，ある整数 $k$ を用いて $n=3k,3k+1,3k+2$ のいずれかの形で表せる。

(i) $n=3n$ のとき，

$J=3k(3k+1)(3k+2)$ より， $J$ は3の倍数である。

(ii) $n=3k+1$ のとき，

$J=(3k+1)(3k+2)(3k+3)=3(3k+2)(3k+2)(k+1)$ より， $J$ は3の倍数である。

(iii) $n=3k+2$ のとき，

$J=(3k+2)(3k+3)(3k+4)=3(3k+2)(k+1)(3k+4)$ より， $J$ は3の倍数である。

以上、(i)，(ii)，(iii)より，すべての整数 $n$ において，$J$ は3の倍数である。

したがって，$J$ は2の倍数かつ3の倍数，すなわち6の倍数である。