【定理・公式・証明】高校数学定理・公式 – 数学A – 三平方の定理(ピタゴラスの定理)

一辺の長さが $b+c$ の正方形 $\mathrm{ ABCD }$ を考える。線分 $\mathrm{ AB,BC,CD,DA }$ 上に点 $\mathrm{ P,Q,R,S }$ を〈図1〉のようにとる。このとき，正方形 $\mathrm{ ABCD }$ の面積は，正方形 $\mathrm{ PQRS }$ の面積と4つの直角三角形の面積の和に等しいので，

$(正方形 \mathrm{ ABCD } ) =(正方形 \mathrm{ PQRS } ) +4(三角形 \mathrm{ APS } )$

$\displaystyle (b+c)^2 +a^2 +4 \cdot \frac{bc}{2}$

$b^2+2bc+c^2 =a^2 +2bc$

$b^2 +c^2 =a^2$

〈図2〉のような直角三角形 $\mathrm{ ABC }$ において，点 $\mathrm{ A }$ から辺 $\mathrm{ BC }$ へ下ろした垂線の足を $\mathrm{ H }$ とする。このとき，

$\triangle \mathrm{ ABC }$ と $\triangle \mathrm{ HBA }$ が相似なので，

$a:c=c:x$ …①

$\triangle \mathrm{ ABC }$ と $\triangle \mathrm{ HAC }$ が相似なので，

$a:b=b:y$ …②

①より， $c^2 =ax$ ②より， $b^2 =ay$

このとき， $x+y=a$ より，

$b^2 +c^2 =a(x+y) =a^2$