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【定理・公式・証明】高校数学定理・公式 – 数学A – 中点連結定理

中点連結定理

三角形 $\mathrm{ ABC }$ の辺 $\mathrm{ AB }$ の中点を $\mathrm{ D }$ ，辺 $\mathrm{ AC }$ の中点を $\mathrm{ E }$ とする。このとき，

{DE / ⁣/ BCDE=12BC \left \{ \begin{array}{l} \mathrm{DE} \ / \! / \ \mathrm{BC} \\ \displaystyle \mathrm{DE} = \frac{1}{2} \mathrm{BC} \end{array} \right.

が成り立つ。

証明

点 D,E\mathrm{D,E} は辺 AB,AC\mathrm{AB,AC} の中点なので，

△ADE∽△ABC\triangle \mathrm{ADE} \backsim \triangle \mathrm{ABC}

よって，三角形の対応する角が等しく，

∠ADE=∠ABC\angle \mathrm{ADE} = \angle \mathrm{ABC}

となる。すなわち，同位角が等しいので，

DE / ⁣/ BC\mathrm{DE} \ / \! / \ \mathrm{BC}

また， D\mathrm{D} が AB\mathrm{AB} の中点であるから， AD:AB=1:2\mathrm{AD} : \mathrm{AB} = 1:2

これより，

DE=12BC\displaystyle \mathrm{DE} = \frac{1}{2} \mathrm{BC}