【定理・公式・証明】高校数学定理・公式 – 数学A – 角の二等分線

線分 $\mathrm{AD}$ は， $\angle \mathrm{BAC}$ の二等分線より，

$angle \mathrm{BAC} = \angle \mathrm{DAC}$　…①

また，線分 $\mathrm{AB}$ を点 $\mathrm{A}$ の方に延長した半直線 $\mathrm{BA}$ 上に， $\mathrm{AD} / \! / \mathrm{CC'}$ となるように，点 $\mathrm{C'}$ をとる。線分 $\mathrm{AC}$ について， $\mathrm{AD} / \! / \mathrm{CC’}$ なので，

$\angle \mathrm{DAC} = \angle \mathrm{ACC'}$　…②

$\angle \mathrm{BAD} = \angle \mathrm{AC'C}$　…③

①，②，③より，

$\angle \mathrm{ACC'} = \angle \mathrm{AC'C}$

となるので，三角形 $\mathrm{ACC'}$ は二等辺三角形。よって，

$\mathrm{AC} = \mathrm{AC'}$

また， $\mathrm{AD} / \! / \mathrm{AC'}$ より， $\triangle \mathrm{ABD} \backsim \triangle \mathrm{C'BC}$ となるので，

$\mathrm{BD} : \mathrm{DC} = \mathrm{BA} : \mathrm{AC'} = \mathrm{AB} : \mathrm{AC}$

すなわち，

$\mathrm{BD} : \mathrm{DC} = \mathrm{AB} : \mathrm{AC}$

右図のように，半直線 $\mathrm{BA}$ 上に点 $\mathrm{X}$ をとる。点 $\mathrm{C}$ を通り，線分 $\mathrm{AD}$ に平行な直線と直線 $\mathrm{AB}$ との交点を $\mathrm{C'}$ とおく。このとき，

$\angle \mathrm{DAC} = \angle \mathrm{DAX}$　…①

$\mathrm{AD} / \! / \mathrm{CC'}$ なので，

$\angle \mathrm{DAC} = \angle \mathrm{ACC'}$　…②

また，直線 $\mathrm{AB}$ について，

$\angle \mathrm{CC'A} = \angle \mathrm{DAX}$　…③

①，②，③より，

$\angle \mathrm{ACC'} = \angle \mathrm{AC'C}$

となるので，三角形 $\mathrm{ACC'}$ は二等辺三角形。よって，

$\mathrm{AC} = \mathrm{AC'}$

また， $\mathrm{AD} / \! / \mathrm{C'C}$ より， $\triangle \mathrm{ABD} \backsim \triangle \mathrm{C'BC}$ となるので，

$\mathrm{BD} : \mathrm{DC} = \mathrm{AB} : \mathrm{AC'} = \mathrm{AB} : \mathrm{AC}$

すなわち，

$\mathrm{BD} : \mathrm{DC} = \mathrm{AB} : \mathrm{AC}$