【定理・公式・証明】高校数学定理・公式 – 数学A – 三角形の五心(重心・外心・内心・垂心・傍心)

〈図1〉のように，三角形 $\mathrm{ABC}$ の辺 $\mathrm{AB}$ ，辺 $\mathrm{AC}$ ，辺 $\mathrm{BC}$ の中線をそれぞれ $\mathrm{P,Q,R}$ とする。また，線分 $\mathrm{BQ}$ と線分 $\mathrm{CP}$ の交点を $\mathrm{G_{1}}$ とする。

中点連結定理から，

$\displaystyle \mathrm{PQ} \ / \! / \ \mathrm{BC}, \mathrm{PQ} = \frac{1}{2} \mathrm{BC}$

また， $\triangle \mathrm{G_{1} BC} \backsim  \triangle \mathrm{G_{1} QP}$ だから，

$\displaystyle \mathrm{BG_{1}} : \mathrm{QG_{1}} = \mathrm{BC} : \mathrm{QP} = \mathrm{BC} : \frac{1}{2} \mathrm{BC} = 2:1$

同様にして，

$\mathrm{CG_{1}} : \mathrm{PG_{1}} = 2:1$

また，線分 $\mathrm{BQ}$ と線分 $\mathrm{AR}$ の交点を $\mathrm{G_{1}}$ とする。〈図2〉のように， $\triangle \mathrm{G_{2} AB} \backsim \triangle G_{2} RQ$ だから，上と同じようにして，

$\mathrm{AG_{2}} : \mathrm{RG_{2}} = 2:1 , \mathrm{BG_{2}} : \mathrm{QG_{2}} = 2:1$

以上から， $\mathrm{G_{1}} , \mathrm{G_{2}}$ はともに線分 $\mathrm{BQ}$ を $2:1$ に内分するので， $\mathrm{G_{1}}$ と $\mathrm{G_{2}}$ は一致する。したがって3本の中線は1点で交わり，その交点(重心)により各中点は $2:1$ に内分される。

線分 $\mathrm{AB}$ の垂直二等分線を $l$ とすると，

点 $\mathrm{P}$ が $l$ 上にある $\Longleftrightarrow$ $\mathrm{PA} = \mathrm{PB}$　…(＊)

〈図1〉三角形 $\mathrm{ABC}$ において，辺 $\mathrm{AB}$ の垂直二等分線と辺 $\mathrm{AC}$ の垂直二等分線の交点を $\mathrm{O}$ とすると，

$\mathrm{OA} = \mathrm{OB} , \mathrm{OA} = \mathrm{OC}$

よって， $\mathrm{OA} = \mathrm{OC}$ となるので，(＊)から $\mathrm{O}$ は辺 $\mathrm{BC}$ の垂直二等分線上にある。よって，

三角形の三編の垂直二等分線は1点で交わる。

また， $\mathrm{O}$ は $\mathrm{A,B,C}$ から等距離にあるので，点 $\mathrm{O}$ を中心とする半径 $\mathrm{OA}$ の円周上に $\mathrm{B,C}$ も存在する。この円を三角形 $\mathrm{ABC}$ の外接円といい，外接円の中心 $\mathrm{O}$ を外心という。

〈図1〉のように $\angle \mathrm{XOY}$ の二等分線 $l$ と点 $\mathrm{P}$ について， $\mathrm{P}$ から半直線 $\mathrm{OX,OY}$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $\mathrm{Q,R}$ とする。 $\triangle \mathrm{OPQ} \equiv \triangle \mathrm{OPR}$ なので，次のことが成り立つ。

点 $\mathrm{P}$ が $l$ 上にある $\Longleftrightarrow$ 点 $\mathrm{P}$ が2辺 $\mathrm{OX,OY}$ から等距離にある。　(＊)

〈図2〉のように，三角形 $\mathrm{ABC}$ において， $\angle \mathrm{B}$ の二等分線と $\angle \mathrm{C}$ の二等分線の交点を $\mathrm{I}$ とし， $\mathrm{I}$ から辺 $\mathrm{AB,BC,CA}$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $\mathrm{P,Q,R}$ とすると，

$\mathrm{IP} = \mathrm{IQ} , \mathrm{IR} = \mathrm{IQ}$

よって， $\mathrm{IP} = \mathrm{IR}$ となるので，(＊)から $\mathrm{I}$ は $\angle \mathrm{A}$ の二等分線上にある。したがって，

三角形の3つの内角の二等分線は1点で交わる。

また，この点 $\mathrm{I}$ を中心とする半径 $\mathrm{IP}$ の円は，三角形 $\mathrm{ABC}$ の3辺に接する。この円を三角形 $\mathrm{ABC}$ の内接円といい，内接円の中心 $\mathrm{I}$ を三角形 $\mathrm{ABC}$ の内心という。

〈図1〉のように，点 $\mathrm{A}$ を通り辺 $\mathrm{BC}$ に平行な直線と点 $\mathrm{B}$ を通り辺 $\mathrm{CA}$ に平行な直線と点 $\mathrm{C}$ を通り辺 $\mathrm{AB}$ に平行な直線の交点をそれぞれ図のように点 $\mathrm{D,E,F}$ とおく。

$\mathrm{BC} \ / \! / \ \mathrm{DA}$ ，かつ， $\mathrm{AC} \ / \! / \ \mathrm{DB}$ より，四角形 $\mathrm{ACBD}$ は平行四辺形なので， $\mathrm{BC} = \mathrm{DA}$　…①

$\mathrm{BC} \ / \! / \ \mathrm{AF}$ ， かつ， $\mathrm{AB} \ / \! / \ \mathrm{FC}$ より，四角形 $\mathrm{ABCF}$ は平行四辺形なので， $\mathrm{BC} = \mathrm{AF}$　…②

〈図1〉のように $\angle \mathrm{XOY}$ の二等分線 $l$ と点 $\mathrm{P}$ について， $\mathrm{P}$ から半直線 $\mathrm{OX,OY}$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $\mathrm{Q,R}$ とする。

$\triangle \mathrm{OPQ} \equiv \triangle \mathrm{OPR}$ なので，次のことが成り立つ。

点 $\mathrm{P}$ が$l$ 上にある $\Longleftrightarrow$ 点 $\mathrm{P}$ が2辺 $\mathrm{OX,OY}$ から等距離にある。　…(＊)

〈図2〉のように，三角形 $\mathrm{ABC}$ において， $\angle \mathrm{B}$ の外角の二等分線と $\angle \mathrm{C}$ の外角の二等分線の交点を $\mathrm{S}$ とし， $\mathrm{S}$ から半直線 $\mathrm{AB,AC}$ 辺 $\mathrm{BC}$ に下ろした垂線の足を $\mathrm{D,E,F}$ とすると，

$\mathrm{SD} = \mathrm{SF}, \mathrm{SE} = \mathrm{SF}$

よって， $\mathrm{SD} = \mathrm{SF}$ となるので，(＊)から $\mathrm{S}$ は $\angle \mathrm{A}$ の内角の二等分線上にある。したがって，〈図3〉のように三角形 $\mathrm{ABC}$ の $\angle \mathrm{A}$ の内角の二等分線と， $\angle \mathrm{B}$ と $\angle \mathrm{C}$ の外角の二等分線は1点 $\mathrm{S}$ で交わる。

また，この点 $\mathrm{S}$ を中心とする半径 $\mathrm{SD}$ の円は，直線 $\mathrm{AB,BC,CA}$ に接する。この円を三角形 $\mathrm{ABC}$ の傍接円といい，傍接円の中心 $\mathrm{S}$ を三角形 $\mathrm{ABC}$ の傍心という。

注:傍心は1つの三角形に対して3つある。